上海交大819 2004~2013年真题.pdf

2004 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、 某因果系统其系统函数是 H(S) 有理的， 且仅有两个极点：S 1 =-2 ，S 2 =-4 。 有且仅 有 两个零点:Z 1 =2,Z 2 =4 。系统 阶跃稳态响应的最大值是 1 。试求： 1. 系统函数 H(S)，且画出 零极图，判断系统的稳定性。 2. 当输入为 e(t)=e -4 u(t)时候 ，求系统的零状态响应。 3. 当输入为 e(t)=sin(2t)u(t) 时候，求稳态响应。 4. 画出幅频特性图，并采用 RLC 图来 实现系统，标出元件值。 二、某离散时间 LSI 因果系统。当输入为 x(n)=2 n u(n)，完全响应为 2 3 (−1) n − (−2) n + 1 3 (2) n ,n0 ，当 x(n)=u(n)时候，y(n) = 1 2 (−1) n − 2 3 (−2) n + 1 6 。 试求： 1. H(Z),h(n) 以 及系统的差分方程。 2. 用直接Ⅱ型画出本系统的信号流图。 3. 当y( −1) = 0, y( −2) = 1 2 , x(n) = n ∗ ( −2) n u(n) 时候，求系统的完全响应。 三、如下图所示，假设 S c (t)是带限的，S c (j Ω)=0,| Ω| ≥ π T ，对 x c (t)进行采样，采样周期是 T ， 得到序列 x(n)=x c (nT)。试求 ： 1. x c (t)的傅里 叶变换和 x(n)的离散傅里叶变换。 2.如下离散时间系统仿真图，试选择该离散时间系统函数 H(e jw ) ，当输入 s(n)=s c (nT) 时候 ， 输出为 y(n)=x c (nT)。 3. 当延时 τ=T 及 τ = T 2 时候，求 h(n)。 t Sc(t) 延时 t S c (t) ∑ x c (t) − π T π T 四、如下图H 1 ( ω) = � 3 − 2 ≤ ω ≤ 2 0 其它 ω ，H 2 ( ω) = � e j ω | ω| 2 0 | ω| ≤ 2 。 试求： 1. x(t) = sin 2t t 时，求输出 y(t) 。 2. x(t)=Sa(t)cos4t 时，求输出 y(t) 。 3. 当 x(t)为如下 波形时，再求 y(t) 。 五、实序列 x(n)与其偶部及其奇部之间满足如下关系： x(n) = x e (n) + x o (n). x e = x(n) + x( −n) 2 , x o = x(n) − x( −n) 2 已知 x(n)离散傅里叶变换 X R (e jw )= 1 −acosw 1 −2acosw +a 2 。其中|a| 1为实数。试求： 1. x(n)，X(ejw)，x(z) 。 2. 设 X(e jw )=X R (e jw )+jX 1 (e jw )， 试导出 X R (e jw )与 X 1 (e jw )之 间的关系。 1 1 −e −j ω = 1 2 − j 2 cot ω 2 。 X(t) H 1 (w) W(t) Cos2t H 2 (w) Y(t) 2 -2 2 -2 六、令 x(k)表示 N 点序列 ，x(n)的 N 点 DFT ，试证明： 1. 若 x(n)满足 x(n)=-x(N-1-n) ，则 X(0)=0 。 2. 当 N 为偶 数时候，x(n)=x(N-1-n)，则 x( N 2 )=0 。 七、在设计数字滤波器 H(e jw )时可以用冲激不变法或者双线性法从模拟滤波器 Ha(j Ω)中得 到；反过来我们也可以从一给定的数字滤波器 H(e jw )中求出 Ha(j Ω)。 已知H �e j ω � = � 2 ω π + 5 3 , − 2 3 π ≤ ω ≤ − π 3 − 2 ω π + 5 3 , π 3 ≤ ω ≤ 2 π 3 0 , other 1. 用冲激不变法求 Ha(j Ω)。 2. 用双线性法求 Ha(j Ω)。 3. 试画出用以上两种方法得到的 Ha(j Ω)的幅频响应，并比较哪一个没有失真。 八、图中λ 1 和λ 2 为状态变量，输入和输出分别 x(t)和 y(t) ，试求： 1. 写出状态方程和输出方程。 2. 如果输入 x(t)=u(t)作用下，其状态方程为零状态，解为 � λ 1 λ 2 � = � 3e −t − 2e −2t − 1 6e −t − 2e −2t − 4 � u(t) 试求：a,b,c 。 3. 写出矩阵 A ，并写出相应的状态装换矩阵 e At 。 X(t) Y(t) c b a D D 2005 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、DFT 以及 IDFT 是数字信号处理技术的核心算法，可以用 FFT 的芯 片或者模块来实现。 1. 写出若干片 4 点时域 抽取 FFT 芯 片计算一个 8 点 DFT ，画出实现该信号的信号流图。 2. 如果通过调用 8 点 FFT 的 程序模块实现 8 点的 IFFT 运算， 用数学的方法来说明实现过程， 并写出相应的步骤。 二、N 阶 FIR 数字滤波器的单位样值响应为 h(n)，N 为奇数，且又有 h(n)=-h(N-1-n)。试 证 明该滤波器不可能是低通或者高通滤波器。 三、 已知 y(n)=x 1 (n)+jx 2 (n)，x 1 (n)和 x 2 (n) 均为具有长度为 N 的实 序列。 设 y(n)的离散傅里叶 变换 Y(k) = DFT[y(n)] = 1 − a N 1 − aW N k + j 1 − b N 1 − bW N k , 0 ≤ k ≤ N − 1, a,b 为实数， 试求： X 1 (k) = DFT[x 1 (n)], X 2 (k) = DFT[x 2 (n)] 以及 x 1 (n) 和 x 2 (n)。 四、某频率采样滤波器的系统函数表示为H(z) = (1 − z −N ) ∑ H � (k)/N 1 −z k z −1 N −1 k=0 , 其中 z k = e j( 2 π N )k , k = 0,1,2,3 … … N − 1 试求： 1. 用系统函数为(1-z -N )的 FIR 系统与一节 IIR 系统的并联组合进行组合进行级联来实现该 采样滤波器，画出这种信号的信号流图。 2. 求采样滤波器的单位样值响应。 3. 证明常数H � (k) 就是系统频率响应在等间隔频率ω k = � 2 π N � k , (k = 0,1,2 … … N − 1) 上 的样本。 五、 假设信号 x(n)的频谱在 π 4 ≤ | ω| ≤ π 范围内为 0 ， 另一信 号 s(n)与 x(n)之间的关系表示 为s(n) = x(n) ∑ δ(n − 1 − 4k) ∞ m= − ∞ , 试设计一个低通滤波器的频率响应 H(e jw )，使 之当该滤 波器的输入为 s(n)时输出为 x(n)。 六、一个序列 y(n)定义为：y(n) = ∑ h(m)h(n + m) ∞ m= − ∞ ，其中 h(n)是最小相位序列，当 输入为y(n) = 3 4 ( 1 2 ) n + 4 3 2 n u( −n − 1) 时候，试求： 1.y(n)的 z 变换 Y(z) ，并画出它的零极图。 2. 求该最小相位序列 h(n)及其 z 变换 H(z) 。 3. 求该最小相位序列 h(n)频谱，粗略画出幅频特性和相频特性图。 七、 设某已经被调制的窄带实带通信号 s(t) ， 它的等效低通表示形式为 s(t)=Re �s 1 (t)e j ω c t � ， 式中复信号 s 1 (t)为 s(t) 的等效低通，w c 为调制信号的载波频率。试求： 1. 如果 s 1 (t)的频谱为 S 1 (w)，求 s(t) 的频谱 S(w)。 2. 用 x(t)=Re �A m g(t)e j ω c t �, 0 ≤ t ≤ T ， 表示幅度调制信号，A m 为调制幅度，g(t) 为实信号脉 冲，其频谱 G(w)如下图 所示，试画出 x(t)的 频谱 X(w)。 t Sc(t) 3. 如果y(t) = Re �A m [g(t) + jg �(t)]e j ω c t �, 0 ≤ t ≤ T, g �(t) 为上一问中的 g(t) 的希尔伯特变换。 求 y(t) 的频谱 Y(w)。 4. 比较 X(w)和 Y(w)，你能得出什么结论？ G(w) w w m -w m 八、假定关于某个 LTI 系统的已知下列信息：1) 系统是因果的， 2) 系统函 数是有理的，且 仅有两个极点在 S=-2 和 s=4 ， 3) 对于任 意时间 t ， 当 系统输入为 e(t)=1 时， 系统 的输出为 r(t)=0 ， 4) 系统的单位冲激响应的初值为 4 ，试 求： 1. 系统的电压传输系数 H(s)= Y(s) X(s) 及单位冲激函数 h(t)，写 出描述该系统的微分方程。 2. 判断该系统的稳定性。若不稳定则该选择什么样的 h(t)才能 使系统稳定？ 3. 若因果系统的输入 x(t)的 拉氏变换X(s) = 1 1+e −s , Re(s) 0，求该系统的零状态响应。 4. 当系统稳定时候，若输入为 cost ，求系统的稳态响应。 九、下图为某 LSI 系统的模拟框图，k 为待定系数。试求： 1. 根据给定的系统模拟框图，画出对应的信号流图。 2. 求系统的传输函数H(z) = Y(z) X(z) 及描述该系统的差分方程。 3. 能够使因果系统稳定的系数 K 的取 值范围。 4. 当k = 13 16 时，对于 H(z)的所有可能收敛域，求相应的单位样值响应 h(n)。 5. 按照 4 给 定的 k 值，当 y(-1)=1 ，y(-2)=2 ，x(n)=2 n u(n)是，求因果系统的全响应，并指 出自由响应和强迫响应。 X(z) Y(z) z -1 z -1 2 2k 1 2 2006 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、 某 LSI 因果系统，其系统函数为H(s) = A (s −B) 2 +C (s+B) 2 +C ，其中 A ，B ，C 均为实待定系数， 试求： 1. 当系统的阶跃响应中包含有包络 e -t ， 角频率为ω 0 = 40 π(rad/s) 的衰减震荡信号 时，确定系统函数 H(s)中的待定系数 B 和 C ，画出系统的零极图。 2. 如果系统的阶跃响应的初值 g(0 + )=1 ，确定系统函数 H(s)中 的待定系数 A ，并求 出该系统的单位冲激响应 h(t)。 3. 当输入 e(t)=sin(t)时，求该系统的稳态响应。 4. 对于任意时间 t ，当输入 e(t)=e -2t 时，求系统的输出。 5. 用 RLC 元件 实现该系统，并标出元件值。 二、 如图所示，反馈系统K(z) = z z+1 , β(z) = 9 z −8 1. 求系统函数 H(z)= Y(z) X(z) ，画出零极图。 2. 对于所有可能的收敛域，求对应的脉冲响应 h(n)。 3. 输入序列 x(n)= � 1 2 � n u(n)，y(-1)=3 ，y(-2)=4 时 ，求因果系统的完全响应 y(n)。 4. 当输入序列 x(n)=( 1 2 ) n ，y(-2)=1 ，w(-1)=2 时，再求因果系统的完全响应 y(n)。 x(n) ∑ W(n) K(z) β(z) Y(n) 三， 如下图 a 所示系统， x(t)为如图 b 所 示的周期对称方波。 周期 T=2 π(s)，系 统 H1(w) 和 H2(w)分别如图 c 和 d 所示，试求系统的输出 y(t) 。 x(t) H1(w) s(t) f(t) y(t) H2(w) ∑ 图 a X(t) t T 4 − T 4 1 图 b H1(w) H2(w) W W -2 2 4 -4 π 4 π 3 -3 图 c 图 d 四、如下图 a 所示系统，p(t)= ∑ δ(t − kT) ∞ k= − ∞ ，T 为采样周期，x(t)，x p (t)和 x(n) 的 傅里叶变换分别为用 X(jw) ，X p (jw)和 X(e jΩ )表示。 1. 如果 T=0.5X10 -3 (s) ，X(jw) 如图 b 所示 ，试分别画出 X p (jw)和 X(e jΩ )。 2. 如果 T 和 X(jw) 不变，试分别求出 ∫ x(t)dt 和 ∑ x(n) ∞ n= − ∞ ∞ − ∞ 。 3. 如果 x(t)是 频率受限的信号， X(jw)=0 ， | ω| ≥ W ， 欲使等式T ∑ x(n) ∞ n= − ∞ = ∫ x(t) ∞ − ∞ dt 成立，试求采样周期 T 和信号带宽 W 的关系。 五、一个线性非因果离散时间系统具有系统函数为 H(z)= (1 −0.5z −1 )(1+4z −2 ) (1 −0.64z −2 ) ， 1. 求一个最小相位系统 H 1 (z) 和一个全通系统 H ap (z) 的表示式，使满足 H(z)=H 1 (z)*Hap(z) ，画出 H 1 (z) 和 Hap(z)的零极点图。 2. 求一个最小相位系统 H 2 (z) 和一个广义相位 FIR 系统 Hlin(z) 的表达式，使满足 H(z)=H 2 (z)*Hlin(z)，画出 H 2 (z) 和 Hlin(z) 的零极点图。 X(jw) -2000π 2000 π 1 图 b x(t) P(t) x(n) X p (t) 脉冲序列 ∑ 图 a w 六、希尔伯特变换给出了因果系统的系统函数中实部和虚部的关系。 1. 连续时间因果系统的单位冲激响应可表示为 h(t)=h(t)*u(t)， 如果其傅里叶变换用实 虚部表示成 H(w)=R(w)+jX(w)，试求 R(w)与 X(w)之间的关系式。 2. 对于任意序列 x(n)， 有其 离散时间傅里叶变换为 X(e jw )=X R (e jw )+jX L (e jw )，试 求 X R (e jw ) 和 X L (e jw )的关 系。 七、一个系统函数为 H(z) 的滤波器，其频率函数为 H(e jw )= � A, | θ| θ c 0, 0 | θ| ≤ π ，其中 0 𝜃𝜃 c 𝜋𝜋 ， 如果通过变换 Z=-Z 2 将这个低通滤波器变换成另一个新的滤波器 H 1 (z) 即 H 1 (Z)=H(Z)| Z=-Z 2 =H(-Z 2 )。 1. 求原来低通滤波器 H(z)的频率变量θ 与新系统 H 1 (z) 的频率变量 w 之间的关系。 2. 画出新滤波器频率响应 H 1 (e jw )的图形，标出相应的量。 3. 求用原来低通滤波器脉冲响应 h(n)表示 h 1 (n)的关系式。 4 假设原来 的系统可用差分方程组� g(n) = x(n) − a 1 g(n − 1) − b 1 f(n − 2) f(n) = a 2 g(n − 1) + b 2 f(n − 1) y(n) = c 1 f(n) − c 2 g(n − 1) 表示，式 中 x(n)表示系 统的输入序列，y(n)表示输出序列，试确定可以用来描述 H 1 (z) 所表示` 系统的差分方程组。 八、 有一个长 度为 N 的圆周偶对称实序列 x1(n)和 长度为 N 的圆周奇对称实序列 x2(n)， 我们可以用一次 N/2 点 FFT 计算这两个序列的 N 点 DFT ；试写出实现步骤。 九、如下图所示因果系统，a,b 为待 定常数，输入与输出分别为 x(t)和 y(t) 。 1. 试求该系统的系统函数 H(s)=Y(s)/X(s) ，并确定系统稳定时的 a 和 b 的取值 范围。 2 ．当 a=-2 ，b=-3 时，用 一阶系统并联形式画出该系统的信号流图，并写出相应的 状态方程和输出方程。 3. 根据写出的状态方程，求系统的状态转移矩阵。 x(t) y(t) S -1 S -1 ∑ ∑ ∑ S -1 -1 +a +b -1 2007 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、存在(s 2 + 4s + 3)R(s) = (s + 1)E(s) ，求： 1. 系统函数 H(s)，并画出零极图。 2. 单位冲击响应 h(t)。 3. 当输入 e(t)=te -3t u(t)时，求 y zs 。 4. 当输入 e(t)=sint*u(t)时，求该系统的稳态响应。 二、a)T 秒 N 个点，带宽为 W(HZ)，试用 T ，W 表示 N； b)S(t)=Re[S τ (t)e jf c (t)2 π ] ，试求 S(f) 。 三、某 LTI 因果系统，系统函数为H(z) = z 2 −3z z 2 −3z+2 ，求： 1. 画出系统零极图，并用差分方程表示系统。 2.h(n)的所有可能，并判断系统是否因果、是否稳定。 3. 激励为(-1) n u(n)时 全响 应，y(n) = �2 + 4 3 (2) n + 2 3 ( −1) n � u(n) ，求 y(-1),y(-2) 。 4. 当 x(n)=2 n u(n)时，求 y zs 。 三、 若h 1 (n) = 1 4 δ(n + 1) + δ(n) + 1 4 δ(n − 1), 1. 求 H(e jw )，并 画出幅频和相频图。 2. 若h 2 (n) = δ(n) + δ(n − 1) ，求 h 1 (n)*h 2 (n)。 五、h(n) = − 1 2 δ(n + 2) + δ(n) − 1 2 δ(n − 2), x(n) = x c (nT), y(n) = y c (nT) 。 T = 2 π 40×10 6 ， LPF 的系数为 T 。 x c (t)=cos(90x10 6 t)[1+cos(90x10 6 t)] ， 试画出 x(n),y(n),y(t),y c (t)。 六、 已知 H d (k)=H(e jw )|w=2 πk/N ，X(K)= ∑ x(n)W N kn N −1 n=0 ；Y(k)=H d (k)X(k)，y(n)= ∑ W N −kn N −1 k=0 。试 问： 1.y(n)=x(n)*h d (n)是否成立。 2.Y(e jw )=X(e jw )H(e jw )是否成立。 七、1. 存在偶序列 x(n)=x(N-1-n)，试问 是否可以用 0,1,K, N 2 − 1 来实现计算 N 点 DFT 。 2. 写 N 2 点实序列计算 x(n)的 N 点 DFT 步骤。 ∑ X c (t) δ T (t) X p (t) 冲激转序列 X(n) h(n) y(n) 序列转冲激 y c (t) 截频为 π T 的 LPF y(t) 2008 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、此题共有 6 道小题，每道小题 8 分， 共 48 分。 1. f1(t)=u(t-1)-u(t-5) 卷积 f2(t)=u(t+5)-u(t+3)+u(t+1)。 2. f1(n)=u(n)-2u(n-3)+u(n+6)卷积 f2(n)=u(n)-u(n-6) 。 3. sin(w π)*cos(2w) 求反变 换。 4. x(t) = � 1 + cost t ≤ |T| 0 other 求 X(w) 5. 已知 X(z)= 1 − 1 3 Z −1 1+Z −1 −2Z −2 ，|Z| 2，求反变换 x(n)。 6. X(s) = 2(s+1) [(s+1) 2 +1] Re(s) −1 求反变换 x(t)。 二、已知一个有理系统，有两个极点，且满足 a. 阶跃响应的稳态值为-1/3 b. 当输入为 e -t u(t)时，系统输出稳定 c. 当输出满足y(t) = d 2 h(t) dt 2 + 5 dh (t) dt + 6h(t) 时，Y(s) 的收 敛域从负无穷到正无穷 d. 有且仅有一个零点 1. 求 H(s), 并指出其收敛域。 2. 画出系统的直接 II 型图。 3. 如果输入为 e -t sin(t)u(t)，问系统的零状态响应 y zs (t)，并说明 是否稳态。 三、 已知两个级联型系统， 其中第一个系统的输入是 x(n)， 系统函数为H 1 (z) = 2Z+1 Z −1 ，输 出 w(n)。第二个系统输入 w(n)，系统函数 H2(Z)=Z -1 -1 ，输出 y(n)。 1. 求总系统的系统函数 H(z) ，并写出系统的差分方程。 2. 当输入为( 1 2 )nu(n)，且 y(-2)=2,w(-2)=2 时 ，求全响应。 3. 当输入为 u(n)，且 y(-2)=0,y(-1)=0 ，求 全响应。 四、 已知一个系统的流程图如下图所示： 其输入为 x(t) ， 第一步由 cos(5wt) 对其 调制， 得到 s(t) ， 调制后通过 H 1 (w)， 输出为 p(t)，然 后 p(t)被 cos(3wt) 调制，得到 q(t)，再 通过 H 2 (w)，输出为 y(t) ，已知 X(w)的频谱图案为三角 波，从范围为(-2w,2w)，高 度 1 ，H 1 (w)是带通滤波器，通频带(-5w,-3w)和(3w,5w) ，高度 1 。 H 2 (w)是低通，通频带(-2w,2w) ，高度 1 。 1. 画出 S(w),P(w),Q(w)。 2. 画出 Y(w)。 五、 已知某 N 点 长的复数序列 x(n)=cos(n)+jsin(n)。 1. 求其离散傅里叶变换 X(k) 。 2. 通过 X(k)求 DFT[cos(n)] 和 DFT[sin(n)]。 六、 设 S1 是一因果稳定的 LTI 系统，且已知系统的输入 y(n)和输出 x(n)满足差分方程： y(n − 2) − 2 ∗ y(n − 1) + y(n) = x(n) ， 并且已知其系统函数为 H 1 (z) ， 单位脉冲响应 为 h 1 (n)。 1. 求不同收敛域下的 h 1 (n)。 2. 判断该系统 S1 是否为低通 滤波器，高通滤波器，带通滤波器。并说明理由。 3. 设 S2 是 LTI 系统，其频率响应满足 H 2 (e jw )=H 1 (e jw )。判断 S2 是否为低通滤波器， 带通滤波器或是高通滤波器，说明理由。 4. 设 S3 是一因果 LTI 系统，且满足 H 3 (e jw )*H 1 (e jw )=1 。判断系统是不是广义线性相 位系统。 七、 考虑一个实值反因果序列 x(n)，其离散时间傅里叶变换为 X(e jw )。X(e jw )的 实部为 X R �e j ω � = ∑ ( 1 2 ) k ∗ cos(kw) ∞ k=0 ，求 X(e jw )的虚 部 X 1 (e jw )。 ∑ ∑ x(t) cos(5wt) H 1 (w) s(t) p(t) cos(3wt) q(t) H 2 (w) y(t) 2009 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、已知系统流程图如下，其中 dw (t) dt = x(t) ，g 2 (t) = 0.5(1 − e −2t )w(t) ，当 x(t)=(1-t)[u(t)-u(t-1)]时 ，求 y zs (t)？ 二、系统流程图如下： 且满足 y(t)=x(t+NT) ，其中 x(t)与 H2(w) 图形如下： 1. 求 h1(t)及 H1(w)。 2. T= π 3 时，求 y(t) 。 3. T= π 3 时，求输出信号均方功率谱。 三、用 H(s)表示原滤波器的转移函数，G(s)=H( 1 s )实现转换。 1.H(s)= 1 s+0.5 ，画出|H(jw)| 及|G(jw)| ，并说出实现了哪种滤波器的转换。 2. 确定 H(s)、G(s) 对应的微 分方程。 3. ∑ a k d k y(k) dt k = ∑ b k d k x(t) dt k N k=0 N k=0 ，求 H(s)及 G(s) 。 4. 根据 3 问的 条件，利用 a k ,b k ，求 G(s) 的微分方程。 x(t) w(t) y(t) H 1 (w) H 2 (w) − T 2 T 2 1 x(t) t -12 12 1 w H 2 (w) 四、信号流图如图所示： 1. 求 H(z)及差分方程。 2. 系统因果，求 h(n)及阶跃响应。 3. 若 x(n)=(0.2) n u(n)且 y(-1)=y(-2)=0 ，求完 全响应，并指出零输入及零状态响应。 五、 1. 欲使系统呈现 LTI 特性，求用 W m 表示的 T 的范围，并确定 Wc 与 W m 与 Ws 之间的关 系。 2. y(n)=x(n)-x(n-1) ，求 H(e j ω )，并在| ω| ≤ 3π 内画出�H(e j ω ) � 。 3. 若 1 成立， 求Hc(j Ω) = Yc (t) Xc (t) ，并做出相频与幅频曲线。 4. 根据 Hc(j Ω)，求 hc(t)， 并在|t| ≤ 3T 范围内画出波形，并标出零点。 x[n] y[n] 3 2 Z -1 Z -1 -0.02 0.3 x c (t) W m LPF X P(t) = δ T (t) 冲激串转 换成序列 x(n) h(n) 序列转换 成冲激串 W c LPF y c (t) 六、 为了对某段音乐进行谱分析， 对其采样， 再对采样值进行 DFT ， 假定采样速率为 44.1k/s ， DFT 窗的时长为 23.22ms ，求： 1.DFT 窗共采集了多少个样点？ 2. 对采集的样点进行 DFT ，共产生了多少个谱估计点？ 3. 确定 DFT 的分辨率。 七、已知 x(n)=a n u(n)，对 X(Z)等间隔采样，X(K) = X(Z)| Z=e j 2 π k N ，求有限长序列 x N (n) 。 八、 设 LSI 因果系统 S1 ，H(Z) = 1 −Z −5 1 −Z −1 ，|Z| 0, h 1 (n) 。 1. 令：g(n)=h 1 (n)*h 2 (n)，求 h 2 (n)使 g(n)至少有 9 个非 零样本， 并使 g(n)成为具有 严 格线性相位的因果，LSI 的单位脉冲响应。 2. 令 g(n)=h 1 (n)*h 3 (n)，求 h 3 (n)，使 g(n)= δ(n),0 ≤ n ≤ 19 。 2010 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、如果图 a 所示通信系统，若输入 X(t)的频谱如图 b 所示， 试求该系统的输出 S(t) 及其 频谱 S(w) 二、某二阶线性非时变因果稳定系统在三种输入 e1(t),e2(t),e3(t)时，起 始状态均相同 1. 当 e1(t)= δ(t)时，系统的完全响应 r1(t)=2e -3t u(t)，当 e2(t)=u(t) 时，系统的完全响应 r2(t)=e -t u(t)， 试求系统的单位冲激响应 h(t)，并写 出该系统的微分方程。 2. 当系统的输入为 e3(t)=tu(t)-(t-1)u(t-1) 时，求系统的完全响应 r3(t)。 3. 当系统的零输入响应等于冲激响应时，求系统的起始状态 r(0 - )和 r ， (0 - )。 三、设 f(t) 为一带限信号，其频谱 F(w)如下图所示： 1. 分别求出 f(2t) ，f(t/2) 的 采样频率 Ws 和采样周期 Ts 。 2. 用周期冲激串δ(t) = ∑ δ(t − n π 8 ) ∞ n= − ∞ 和f( t 2 ) 分别进行采样，画出采样信号 fs(2t) 和 fs(t/2) 的频谱，并判断是否发生混叠。 x(t) cos4t jsin(w) sin4t S(t) X(w) w -2 2 1 图 a 图 b F(w) w 8 -8 1 0 四、已知有差分方程 Y(n)+aY(n-1)+bY(n-2)=X(n)+cX(n-1)+dX(n-2)，其中 a,b,c,d 均为实常数， 描述的离散 LSI 因果系统的系统函数有如下特征： a. 系统函数 H(z)有一个二阶零点 Z=0 b.H(z)的一个极点在 Z= 1 2 处 c.H(1)= 8 3 试求： 1. 该系统的 H(z)，确定 a,b,c,d 。 2. 画出系统函数的零极点图，并说明该系统是否稳定。 3. 当系统的输入 X(n)= δ(n) + 2δ(n − 3) 时，求该系统的零状态响应。 4. 对任意 n ，当系统的输入 X(n)=(2) n 时，求该系统输出。 五、设一 8 点实序列 X(n)=0 ，n7 ，并设 X(k)为其 8 点 DFT 1. 利用 X(n)计算( 1 8 ∑ X(k)e j � 2 π 8 � kn )| n=9 7 k=0 。 2. 设 V(n)=0,n7,是 一个 8 点实序 列，并设 V(k) 是其 8 点 DFT ，如果有当 k=0,1,2…7 时， 在 Z=2e (j 2 π k + π 8 ) 处，V(k)=X(z)，其中 X(z) 是 X(n) 的 Z 变换， 试用 X(n)表示 V(n)。 3. 设 y(n)=0,n7, 是一个 8 点实序列， 并设 Y(k) 是其 8 点 DFT，如 果 Y(k)= � 2X(k), k = 0,2,4,6 0, k = 1,3,5,7 ， 试用 X(n)表述 y(n)。 六、研究两个有限长度序列 x(n)和 y(n)，已知 n19 时 y(n)=0, 令 w(n) 表述 x(n)和 y(n)的线性卷积，g(t)表示 x(n)和 y(n)的 40 点循环卷积 1. 求可使 w(n)为非零的 n 值。 2. 求可由 g(n)得出 w(n)的 n 值，并清楚的说明 g(n)中取哪些数时 w(n)的这些值会出现。 七、 可以用冲激不变法将一个模拟滤波器转换成一个数字滤波器， 已 知模拟滤波器的传输 函数为H(s) = 1 S 3 +2S 2 +2S+1 ，试求: 1. 相应的数字滤波器的输出函数 H(z)(要求给出具体的系数) 2. 用两个数字滤波器串联的形式， 画出所求数字滤波器的模拟框图(其中一个为二阶， 另一 个为一阶) 八、 考察图 a 所示系统， 其输入为 x(n)输出为 y(n)， 频率响应为 H 1 (e jw )的离散 LSI 系统是一 个截止频率为 π 4 的理想低通滤波器，其频率响应如图 b 所 示： 1. 并联系统总的频率响应 H(e jw )。 2. 说明 H(e jw )表 示的滤波器是一个什么类型的滤波器(即低通， 高通…)， 并指出具有相应 频率特性的频带范围。 x(n) (-1) n H 1 (e jw ) H 1 (e jw ) (-1) n y(n) H 1 (e jw ) − π 4 π 4 0 图 a 图 b 2011 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、已知：冲激响应 h(t)= 1 πt ，信号 g(t) 的频谱 G(w)如下图 a 所示： 1. 求 h(t)的频谱 函数 H(w)。 2. 根据调制框图 b 绘制频 谱 X 1 (w),X 2 (w),S(w)。 3. 设计一个同步解调器框图，从 S(t) 中恢复 g(t) 。 二、 （见交大 白皮书 LT 部 分，例题原型，此题有争议，条件不足） 已知一个单输入系统， 输入 e1(t)， 零状态响应 r zs 1(t)=8e -4t -9e -3t +e -t t ≥0, 输入 e2(t)， 零状态响应 r zs 2(t)=e -4t -e -3t +3e -2 t t ≥0, e1(t) e2(t) 为单调指数衰减函数，再已知 r(0 - )=7,r ， (0 - )=-25，求 ： 1. 零输入响应 r zp (t)。 2. 求系统函数 H(s)冲激响 应h(t) e1(t) e2(t)。 3. 输入 cos2tu(t) 时，系统的完全响应与稳态响应。 4. 画出 H(s)的频谱响应、相频响应图。 5. 画出 H(s)的一阶级联形式信号流图或框图。 三、已知一个离散 LSI 系统其差分方程 y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=x(n)-3x(n-2), 求： 1. 根据其可能的收敛域情况，写出 h(n)，并指出系统因果稳定的情况。 2. 若系统因果，输入 x(n)=2 n u(n)，求其零状态响应。 3. 输入 x(n)=cos(n π)，求系统输出。 四、已知 H(z)= z 2 −2acoswz +a 2 z 2 −2a −1 coswz +a −2 1. 求 H(z)的零极点，并画出 Z 平面的 零极图。 2. 根据 Z 平 面与 S 平面的映射关系，指出对应 H(s)的零极点并画出分布图。 3. 画出 H(z)与 H(s)的幅频响应曲线，并指出是何种类型的滤波器。 G(w) W m -W m w g(t) H(w) cosw c t sinw c t x1(t) S(t) x2(t) 图 a 图 b 五、如下图所示，已知 x(t)的频谱 X(jΩ)，如右图所示： 1. 分别画出 x(n),x e (n),y(n),y c (n)的频谱图(若频谱为周期性， 则画出两个 周期) 。 2.y c (t)与 x(t)关系。 六、已知 h1(n)的 H(z)= 1 � 1 −0.5e j π 2 Z −1 � (1 −0.5e −j π 2 Z −1 ) ，又 h2(n)为 5 点有限长序列，且 H 2 (z) 构成广 义相位系统，其群延迟为 0 ，H(z)=H 1 (z)H 2 (z) 构成 FIR 系统，求： 1. 序列 h2(n) 。 2. 若 h3(n)*[2 n h1(n)]=δ(n)，求 h3(n)。 七、 滤波器设计方面， 给出输出指标， 并给出实际的设计产生的频响图， 分析其阻带、 通带 、 过渡带、滤波器类型，是否达标及相应的误差；并给出改进措施。 八、已知一序列 x(n), 0 ≤ n ≤4 有值，X(k)为其 5 点 DFT ， 利用以下信息 a.X(k) 为实序 列 b. ∑ ( −1) n x(n) = 1 4 n=0 c.X(0)=2 d. ∑ �w(m)x �(n − m) � �| n=2 7 m=0 =8 ，w(n) = δ(n) + 2δ(n − 1) + 3δ(n − 2) 求出序列 x(n)。 X(j Ω) π T − π T Ω 1 x(t) C/D 2 增益 2 ，截止 频率 为 π 2 的低通滤波器 T x(n) x e (n) y(n) D/C y c (t) T 2012 年上海交通大学《信号与系统》试题 一、 二阶 LTI 因果系统图 H(s)有一零点 Z=0 和一对共轭极点 p=-1±j √3 2 ， 当输入为 x(t)=sin( √3 2 t)u(t) 时，稳态响应最大值为 √3 2 ，求： 1.H(s)及相应的 h(t)。 2. 当 x(t)=e -t u(t) ，求 y zs (t)。 3. 画出直接型信号流图。 二、 1. 理想带通滤波器如图所示 （幅度特性， 相位特性） ， 若 W 0 =2W c ，则 当 输入 x(t)=sa 2 ( ω c t 2 )cosw 0 t 时，求 y(t) 。 2. 如下图所示 H1(jw)将 LPF ，输入 x(t)的频谱特性如下： 其中 w0 满足 w 0 =(w 1 +w 2 )/2，H 1 (jw)的截止频率为 w c =(w 2 -w 1 )/2 。 1. 画出 Xy(t) 。 2. 确定 T 使得 x(t)可 以从 Xy(t) 中恢复。 3. 设计 Xy(t) 恢复出 x(t)的 系统。 |H(jw)| 1 w W 0 +W c W 0 -W c W 0 -W 0 φ(jw) w -(w-w 0 )t 0 w 0 -w 0 x(t) e jw 0 t H1(jw) y(t) = � δ(t − nT) ∞ n= − ∞ Xy(t) -w 2 -w 1 w 2 w 1 X(jw) 0 三、二阶 LSI 系统，当输入 x[n] 完全 响应为 y 1 [n]=[1+( 1 2 ) n ]u[n] ， 保持零输入响应不变，输 入 为”-x[n]