随机信号分析与处理 罗鹏飞 课后习题答案.pdf

第 1 章 随机变量基础 1.1 设有两个随机变量 X 和Y，证明 )( ),( )|( | xf yxf xyf X XY = ， )( ),( )|( | yf yxf yxf Y YX = 提示：首先证明 )()( ),( )|( xFxxF dxdyyxf xxXxyF XX yxx x −Δ+ =Δ+≤ ，则 () 0 Y fy= 。若 1y ≤ ，这时对于任意的 y ，有无穷多个 x值与 之对应，即 2 arcsin 2 n x ynθ π=−+， 0, 1, 2,n= ±±… 21 arcsin 2 n x ynπ θπ + =− −+ ， 0, 1, 2,n= ±±… 2 1 1 y dy dx J n n − == 所以，当 1y ≤ 时有 11 221 2 2 1 2 1 () [ ( ) ( )] 1 1 [ (arcsin 2 ) ( arcsin 2 )] 1 1 () 1 Yn n n n n fy gx gx y gyng yn y gx y θπ π θπ +∞ −− + =−∞ +∞ =−∞ +∞ − =−∞ =+ − =−−−+ − = − ∑ ∑ ∑ 即 Y 的概率密度为 1 2 1 () 1 () 1 0 n n Y gx y fy y else +∞ − =−∞ ⎧ ≤ ⎪ = − ⎨ ⎪ ⎩ ∑ 1.4 设有随机变量 1 X 和 2 X ，求 12 YXX= 和 12 Z XX= 的概率密度。 解答： （ 1） 21 XXY = 设 11 XY = 212 XXY = 对应的反函数关系为 122 11 / yyx yx = = 11 2 12 2 2 1 2 2 1 1 1 21 21 1 /1/ 01 ),( ),( yyyy y x y x y x y x yy xx J −= −− = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = )/,( 1 ),(),( 121 2 1 21 2 21 1121 yyyf y Jxxfyyf XXXXYY == ∫∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− == 1121 2 1 1212 )/,( 1 ),()( 1212 dyyyyf y dyyyfyf XXYYY 即两个随机变量之积的概率密度为 ∫ ∞+ ∞− = duuyuf u yf XXY )/,( 1 )( 21 （ 2） 211 XXY = 设 11 XY = 212 / XXY = 对应的反函数关系为 212 11 / yyx yx = = 2 2 1 2 212 2 2 1 2 2 1 1 1 21 21 //1 01 ),( ),( y y yyy y x y x y x y x yy xx J −= − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = )/,(),(),( 211 2 2 2 1 21 2 21 1121 yyyf y y Jxxfyyf XXXXYY == ∫∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− == 1211 2 2 2 1 1212 )/,(),()( 1212 dyyyyf y y dyyyfyf XXYYY 在上式中令 21 / yyu = , 则 ∫ +∞ ∞− = duuuyfuyf XXY ),()( 2 2 2 12 即两个随机变量之商的概率密度为 ∫ +∞ ∞− = duuyufuyf XXY ),()( 21 1.5 设 ()YgX= ，其中 01 () 0 x xxA gx else = 或 x c ⎩ 其中 0c 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求 ()YgX= 的概率分布函数。 解法一： 函数 ()gx的图像如下： 分析此题仍然可以从 ()gx取值的可能情况来讨论。 当 () 0ygx=时， y 和 x 是一一对应的，也就是说 x 取什么值， y 的取值是可以唯一 确定的 故 () { } { } ( ) YX FyPYyPXcyFyc=≤=+≤= − 同理，当 () 0ygx= 。 这种一一对应的关系就是指在 ()gx概率密度曲线上 Y 取 y 的概率 ()PY y= 和 x 的概 率密度曲线上 X 取 y+c 的概率一样 ()PX y c= + 。 也就是当 0y 时， ()( )PY y PX y c== =+，故 () ( ), 0 YX fy fycy= +； 同理也有 0y 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求 ()YgX= 的概率分布函数。 解法一： 此题的解法和前面的 1.5 和 1.6 题基本相同，函数图像也和习题 1.6 的基本基本一 样 当 yc； 同理也有 yc∈ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ 其他 求 (| )EY X 。 解答： 从（ X,Y）联合概率密度可以求出 x 的概率密度为 11 () (, ) 22 xy X x f xfxydyede +∞ +∞ −− −∞ === ∫∫ 按照条件概率密度的定义 | (, ) (|) () yx YX X fxy fyx e fx − + == 所以 | (| ) (|) 1 yx YX xx EY X y f y xdy ye dy x +∞ +∞ −+ =⋅ = =+ ∫∫ 1.9 已知随机变量X 在 [ ] 0,a 上服从均匀分布，随机变量 Y 在 [ ] ,X a 上服从均匀分布，试求 （ 1） ()E YX x= ， 0 x a 。 根据留数定理可知： 22 111 2Re[ ]2 ix iz x x zi edis iee ωω ω πππ ω +∞ − − = −∞ === ++ ∑ ∫ 故 2 1111 () 21 22 ix x x f xedee ω ωπ πωπ +∞ − −− −∞ == + ∫ ， 0x= =− π （ 3） 1 {0} 2 PXY α =+ π （ 4） 1 {0} 2 PXY α = ∫∫ ，令 x α σ = ， y β σ = 所以 22 2 2 00 12 {0,0} exp 2(1 ) 21 r PX Y d d r r +∞ +∞ ⎡⎤α− αβ+β = − αβ ⎢⎥ − π− ⎣⎦ ∫∫ 2 2 2200 111 exp 22 21 1 ar dd rr β β αβ π +∞ +∞ ⎡⎤ ⎛⎞ − ⎢⎥=− ⎜⎟ −− ⎝⎠ ⎣⎦ ∫∫ 再令 2 1 ar u r β− = − ， v β= 2 22 0 1 111 { 0, 0} exp( ) 222 rv r PX Y u v dvdu +∞ +∞ − − = −− π ∫∫ 2 2 0arcsin 11 exp( ) 22 r R RddR π θ π +∞ − =− ∫∫ 这步许可还不是很清楚 1 1 arcsin 1 (arcsin) 22 4 2 42 r r π α π ππ = + =+ =+ 根据积分公式的对称性可知， 1 {0,0}{0,0} 42 PX Y PX Y α =+ π （ 2）具体过程与（ 1）类似，此时有： 0 0 {0,0} (,)P X Y f x y dxdy +∞ −∞ = = + =− π 也可以 1 {0}1{0} 2 PXY PXY α =− π 1.18 设有N个相互独立的正态随机变量 12 ,,, n X XX… ，它们都有零均值和单位方差，令 22 1 n i i Xχ = = ∑ 通常称 2 χ 为具有 n 个自由度的 2 χ 变量，它的分布称为 2 χ 分布，证明 2 χ 分布为 ()2 2 1 22 2 2 1 () exp 2 2 2 n n f n χ χ χχ − ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎛⎞ ⎝⎠ Γ ⎜⎟ ⎝⎠ 其中 ()Γ i 为伽马函数。 如果 (1,2,,) i X in= … 不是单位方差，而是 2 σ ，那么 2 χ 分布为 () ()2 2 1 22 2 2 2 2 1 () exp 2 2 2 n n f n χ χ χχ σ σ − ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎛⎞ ⎝⎠ Γ ⎜⎟ ⎝⎠ 提示：利用特征函数进行证明。 证明： 证方差是 2 σ 的情况，单位方差只需令 2 1σ = 即可。 由于随机变量 i X 服从正态分布，即 2 2 1 () exp 22 i i Xi x fx σπσ ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ，令 2 i YX= ， 则 112 2 () ( ) ( ) ii YXiXi f yJfx Jfx=+，其中 1i x y= ， 2i x y=− ， 1 1 i dx J dy = ， 2 2 i dx J dy = 带入这些关系有 2 1 () exp 2 2 Y y fy y σπσ ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ， 0y 。 则 () Y f y 对应的特征函数为 20 () () 12 jy YY efydy j ω σ ω ωσ +∞ Φ= = − ∫ 由于 (1,2,,) i X in= … 是相互独立的随机变量，独立随机变量之和的特征函数等于各个随机 变量特征函数的乘积，故有 () 22 21 2 () () 12 i nn n X i j χ σ ωω ωσ = Φ=Φ= − ∏ 需要检查 对上式进行傅立叶反变换可得 () ()2 2 1 22 2 2 2 2 1 () exp 2 2 2 n n f n χ χ χχ σ σ − ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎛⎞ ⎝⎠ Γ ⎜⎟ ⎝⎠ 。 1.19 设有 N个相互独立的正态随机变量 12 ,,, n X XX… ，它们都有零均值和单位方差，令 () 2 2 1 1 n i i QaX σ = =+ ∑ 通常称 Q 为具有 n 个自由度的非中心 2 χ 变量，其中 a 为常数，证明 Q 的概率密度为 () 2 4 1 2 1 () 22 n Qn qq f qexpIq λ λ λ − − +⎛⎞ ⎛ ⎞ =− ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ， 0q≥ 式中 2 2 na λ σ = 称为非中心参量， ( ) n I i 为第一类 n 阶修正贝赛尔函数。 证明：设 22 () iiai YaX X=+ = ，故 ai i X aX= + 的概率密度为 () 2 1 2 2 2 ()1 () exp 2 2 ai ai Xai x a fx σ πσ ⎡ ⎤− =− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 所以 i Y 的概率密度为 112 2 () ( ) ( ) iai ai Yi X ai X ai f yJfx Jfx=+ () 22 1 2 2 () ( )1 exp[ ] exp[ ] 22 i ya ya y σσ πσ ⎧⎫ −−− ⎪⎪ =−+− ⎨⎬ ⎩⎭ 2 22 2 1 exp 2 2 i i i ay ya ch y σσ πσ ⎛⎞ ⎛⎞+ =−⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 其中 () 2 x x ee ch x − + = 则 () i Yi f y 对应的特征函数为 222 2 1() () exp exp 212 12 i Y aa j j σ ω σ σω σω ⎛⎞⎡ ⎤ Φ= − ⎜⎟⎢ ⎥ − − ⎝⎠⎣ ⎦ 令 1 n i i QY = ′= ∑ ，则 Q′的特征函数为 1 () () () ii n n QYY i ω ωω ′ = Φ=Φ=Φ ∏ ，即 () 222 2 2 1() () exp exp 212 12 Q n na na j j σ ω σ σω σω ′ ⎛⎞⎡ ⎤ Φ= − ⎜⎟⎢ ⎥ − ⎝⎠⎣ ⎦ − 对 () Q ω ′ Φ 进行傅立叶反变换可得 Q′的概率密度函数 2 4 222 1 2 1 () n Qn qqq fq exp I λλ σλ σ σ − ′ − ⎛⎞ ′ ′′′′ + ⎛⎞ ⎛ ⎞ ′ =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ′ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ， 0q′≥ 归一化变量，令 2 Q Q σ ′ = ，则有 () 2 4 1 2 1 () 22 n Qn qq f qexpIq λ λ λ − − + ⎛⎞ ⎛ ⎞ =− ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ， 0q≥ 计算机作业 1.20 利用MATLAB提供的disttool命令熟悉常用概率密度和概率分布函数,改变分布的参数, 观察曲线的变化。 1.21 设随机变量X~N(2,0.5 2 )，编写计算 P{2.11 P=normcdf(2.22,2,0.5)-normcdf(2.11,2,0.5) P = 0.0830 1.22 编写画出 N(1,1/ 4)的概率密度和概率分布函数图形的 MATLAB 程序，并给出绘图的结 果。 解答： x=-3:0.01:4; y=normpdf(x,1,1/2); subplot(2,1,1); plot(x,y); title( 概率密度函数 ); y=normcdf(x,1,1/2); subplot(2,1,2); plot(x,y); title( 分布函数 ); 1.23 用 MATLAB 画出二维正态概率密度和二维正态概率分布的图形。 1.24 已知二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 exp[ (2 )] 0, 0 (, ) 0 Axyxy fxy −+ ⎧ = ⎨ ⎩ 其他 利用 MATLAB 的符号运算功能，求 (1)待定系数 A； （ 2） P{X2,Y1}； （ 3）边缘分布 f X (x) 和 f Y (y)。 解答： Matlab 程序如下： x=-3:0.01:4; y=normpdf(x,1,1/2); subplot(2,1,1); plot(x,y); title( 概率密度函数 ); y=normcdf(x,1,1/2); subplot(2,1,2); plot(x,y); title( 分布函数 ); 1.25 画出习题 1.18 中不同自由度的 2 χ 变量的概率密度曲线。 1.26 对于习题 1.19 的非中心 2 χ 变量 Q，对不同的自由度和非中心参量，分别画出四组概率 密度曲线。 （ 1） λ/n=2（ n=2,λ=4） ； （ 2） λ/n=2（ n=8,λ=16） ； （ 3） λ/n=4（ n=2,λ=8） ； （ 3） λ/n=4 （ n=4,λ=16） 。 第 2 章习题解答 2.1 设有正弦波随机过程 () cosX tV tω= ，其中 0≤ 时， 1/cos 0 cos (,) 0 X tx t fxt else ω ω 所以， zz R(0) R()τ≥ 2.8 设随机过程X(t)的均值为 () X mt，协方差函数为 12 (, ) X Ktt， ()tϕ 为普通确知函数。试 求随机过程 () () ()Yt Xt tϕ=+的均值和协方差函数。 解 : () [ () ()] () () YX mt EXt t mt tϕ ϕ=+=+， 12 1 1 2 2 11 11 2 2 2 2 12 ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} {[ () () () ()][ () () () ()]} (, ) YYY XX X K tt E Yt m t Yt m t EXt t mt t Xt t mt t Ktt ϕϕϕϕ =− − =+−− +−− = 2.9 设有复随机过程 1 () k N jt K k Z tAe θ = = ∑ ，其中 ,1,2,, k Ak N= null 分别服从 2 (0, ) k N σ ，且相互 独立， (1,2,,) k kN= nullθ 是常数，试求该过程的均值和相关函数。 解： 1 1 {()} {} 0 k k N it Xk k N it k k mEZt E Ae EAe θ θ = = ⎧⎫ == = ⎨⎬ ⎩⎭ = ∑ ∑ （和的期望等于期望的和） x 11 ()2 11 1 (,) [ () ()] {} km mk k NN is is Km km NN N itis i st km k km k Rst EXsXt E Ae Ae EAA e e e θθ θθ θ σ == −− == = ⎧⎫ ⎪⎪ == = ⎨⎬ ⎩⎭ = ∑∑ ∑∑ ∑ 注意： 2 , {} 0 k km km EAA km σ⎧ = = ⎨ ≠ ⎩ 2.10 给定随机过程 () cos sinX tA tB tω ω=+，其中 ω为常量，A 和 B 是两个独立的正态 随机变量，而且 [] [] 0EA EB==， 222 [] []EA EB σ= = 。试求随机过程 X(t)的均值和自 相关函数，并判断它的平稳性。 解： [()] [cos sin ] []cos []sin 0E Xt EA t B t EA t EB tω ωωω=+= += 由于 A 和 B 是互相独立的，且 E[A]=E[B]=0 {} 12 1 2 112 2 22 12 12 2 12 (, ) [ () ()] [cos sin ][cos sin ] []cos cos []sin sin cos ( ) X R tt EXt Xt EA t B tA t B t EA t t EB t t tt ωωωω ωω ωω σω = =+ + =− 所以 X(t)是广义平稳随机过程， 2 () cos X R τ σωτ= ， () () XX KRτ τ= 又 )]sincos)(sincos)(sincos[(),,( 303020201010321 tBtAtBtAtBtAEtttR X ωωωωωω +++= sincos)(sinsincossinsincoscoscos[( 302010 2 201020102010 2 BtAttBttABttABttAE ωωωωωωωωωω ++++= ]sin)sinsincossinsincoscoscos[( ]cos)sinsincossinsincoscoscos[( 302010 3 2010 2 2010 2 2010 2 302010 2 2010 2 2010 2 2010 3 tttBttABttABttBAE tttABttBAttBAttAE ωωωωωωωωω ωωωωωωωωω ++++ +++= ]sinsinsin[]coscoscos[ 302010 3 302010 3 tttBEtttAE ωωωωωω += 可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。 2.11 给定随机过程X(t)和常数a， 试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y(t)= X(t+a)-X(t) 的自相关函数。 解 : ()2()()() YXX X R RRaRaτ ττ τ=−+−− 2.12 设随机过程 () , ,X tXYttR=+ ∈而随机矢量 T (,)X Y 的协方差阵为 2 1 2 2 σ γ γ σ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ， 试求随机过程 X(t)的协方差函数。 解： 22 12 1 212 1 2 (, ) ( ) X Ktt tt ttσ σγ=+ ++ 2.13 设有一脉冲串，其脉宽为 1,脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，幅值为＋1 或－1；各脉冲 取＋1 或－1 是相互独立的；脉冲的起始时间均匀分布于单位时间内。求此随机过程的相关 函数。此过程的一个样本函数见图 2.27 0 1 -1 t ()x t 图 2.27 样本函数示意图图 样本函数示意图 解： 随机过程可以表示为 00 00 () [ ( ) ( 1)], [ , 1] k Xt Autkt utkt t ktkt=−−−−−−∈+++，其中， ,1,2,, k Ak= null 是相 互独立同分布的随机变量， 0 1, 0 {1}{ 1}0.5,() , 0, 0 kk t p ApA ut t t ≥ ⎧ == =−= = ⎨ ∈+++， () 00 00 ,{()()} { [ ( ) ( 1)][ ( ) ( 1)]} X kl Rts EXtXs EAAutkt utkt uslt uslt == −− − −−− −− − −−− 当 kl≠ 时， (, ) 0 X Rts= ；当 kl= 时，有 () 2 00 0 0 2 00 0 0 0000 0 , { [ ( ) ( 1)][ ( ) ( 1)]} { } {[ ( ) ( 1)][ ( ) ( 1)]} {[ ( ) ( 1)][ ( ) ( 1)]} 1, 1 1 X k k Rts EAutkt utkt uskt uskt EA E ut k t ut k t us k t us k t Eutkt utkt uskt uskt kt tkt t tkt tskt = −− − −−− −− − −−− = −− − −−− −− − −−− = −− − −−− −− − −−− +⎪ = ⎨ ⎪ ≤ ⎩ Θ是在 [] 02, π 中均匀分布的随机变量，且与 A统计独立， ω为常量。试问 ()X t 是否为平 稳随机过程？ 2.20 设 ()X t 为一平稳随机过程，若对应于某一个 0T ≠ ， ()X t 的自相关函数 () X R τ 满足 () (0) XX RT R= ，证明 () X R τ 必为以 T 为周期的周期函数。 2.21 若两个随机过程 ()X t 、 ()Yt 均不是平稳随机过程，且 () ()cosX tAt t= ， () ()sinYt Bt t= 。式中随机过程 ()At 、 ()B t 是相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同 的相关函数。证明： () () ()Z tXtYt=+是广义平稳随机过程。 2.22 设 )(tX 和 )(tY 是两个联合平稳的随机过程，证明： (1) )0()0()( 2 YXXY RRR ≤τ (2) )0()0()(2 YXXY RRR +≤τ (3) 22 2 )( YXXY K σστ ≤ 2.23 已知平稳随机过程的相关函数为 2|| () XX R e ατ τσ − = 和 2 () (1 | |) XX R τ σατ=− ， 1/τ α≤ 试求其相关时间 τ 0 。 解 : (1) 0 1 ,τ α = (2) 0 1 2 τ α = 2.24 设随机过程 () cos( )Xt A t=+Φω ，其中 A 和 ω是常量， Φ是在 ( 02, π )上均匀分布的 随机变量。试求该过程的时间自相关函数和集合自相关函数，二者是否相等？ 2.25 设随机过程 () ()cos ()sinZ tXt tYt tω ω=−，其中 ω为常量， ()X t 、 ()Yt为平稳随 机过程。试求： (1) )(tZ 的自相关函数 12 (, ) Z R tt ； (2) 如果 () X R τ = () Y R τ ， () 0 XY R τ = ，求 12 (, ) Z R tt 。 解 : (1) () () ( ) () () 21212121 212121 cossin,sincos, sinsincoscos, ttttRttttR ttRttRttR YXXY YXZ ωωωω ωωτωωτ −− += (2) () () ωτττ cos XZ RR = 2.26 两个统计独立的平稳随机过程 ()X t 和 ()Yt，其均值都为 0，自相关函数分别为 || () X R e τ τ − = ， () cos2 Y R τ πτ= ，试求： (1) )()()( tYtXtZ += 的自相关函数； (2) )()()( tYtXtW −= 的自相关函数； (3) 互相关函数 )(τ ZW R 。 解 :（ 1） () πττ τ 2cos+= − eR Z （ 2） () ()ττ ZW RR = （ 3） () πττ τ 2cos−= − eR ZW 2.27 设 ()X t 是雷达发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号为 1 ()Xtα−τ，其中 1α≤ ， 1 τ 是信号返回时间。由于接收到的信号总是伴随有噪声 ()Nt，于是接收到的信号 为 1 () ( ) ()Yt Xt Nt=α −τ + 。 (1)如 )(tX 和 )(tY 是联合平稳过程，求互相关函数 () XY R τ ； (2)在 (1)的条件下，假如 )(tN 为零均值，且与 )(tX 统计独立，求 () XY R τ 。 解 : （ 1） () () () 1 1 1 {()( )} { ( )[ ( ) ( )]} { ( ) ( )} { ( ) ( )} XY XXN REXtYt EXt aXt Nt EaXtXt EXtNt aR R ττ ττ τ τ ττ τ =+ −++ =+ + =−+ （ 2） () () 1 1 { ( ) ( )} { ( ) ( )} XY X REaXtXt EXtNt aR τ ττ τ ττ =+−++ =− 2.28 证明相关函数具有非负定性，即对于任意 N 个复数 12 ,,, N α ααnull ，有 * 11 ()0 NN ijXi j ij Rt t == αα − ≥ ∑∑ 式中的 *号代表取复共轭。 2.29 证明严格循环平稳的定理 1。 2.30 证明广义循环平稳的定理 2。 2.31 已知平稳随机过程 ()X t 的功率谱密度为 2 42 () 32 X G ω ω ωω = ++ 试求 )(tX 的均方值。 解 : 2 1 () (0) ( 2 1) 2 x EX t R⎡⎤==− ⎣⎦ 2.32 已知平稳随机过程 ()X t 的自相关函数为 () 4 cos cos3 X Re −τ τ= πτ+ πτ 试求功率谱密度 )(ω X G 。 解： 根据维纳－辛钦定理，功率谱密度 () X G ω 就是自相关函数 () X R τ 的傅立叶变换。 || 2 2 1 e τ ω − ↔ + ，同时 000 1 ()cos [ ( ) ( )] 2 ft t F Fω ωω ωω↔++− 所以 || 22 12 2 4cos 4 21 ( ) 1 ( ) e τ πτ ωπ ωπ − ⎡⎤ ↔× + ⎢⎥ ++ +− ⎣⎦ [] || 22 44 () 4 cos ( ) ( ) 1( ) 1( ) X Ge τ ω πτ π δ ω π δ ω π ωπ ωπ − =↔++++− ++ +− 2.33 设 () X G ω 是一个随机过程的功率谱密度函数， 证明 22 ()/ X dG dω ω 不可能是功率谱密 度函数。 2.34 随机序列 X[n]的相关函数为 || () ,||1 m X Rm a a= 中，得 123 22222 13 2 1223 13 2 2 () ( , , ) 11 exp ( 4)( ) 4 ( ) 8 2( 8) 22( 8) XX ffxx x x x xx xx xxπππ π ππ == ⎧ ⎫ ⎡⎤−−++−++ ⎨ ⎬ ⎣⎦ − − ⎩⎭ x 2.45 反函数法、变换法是任意分布随机数产生的常用方法，其中反函数法利用随机变量的 分布函数求解其反函数获得任意分布随机数， 变换法则利用随机变量的函数变换获得任意分 布随机数。下面证明反函数法定理： 若随机变量 X 具有连续分布函数 () X Fx，而 r 是 (0,1)均匀分布的随机变量，则有 1 () X X Fr − = 这一定理告诉了产生服从分布 () X Fx的随机数的方法，即先产生 (0,1)均匀分布的随机数，然 后按上式做变换得到随机数 X。 第 3 章 随机过程的线性变换 3.1 设随机过程 ()X t 是平稳的和可微的，存在导数 ()X t′ 。证明对于给定的 t ，随机变量 ()X t 和 ()X t′ 是正交的和不相关的。 证明： 由于随机过程 ()X t 是平稳的，故 ()X t 的均值为常数，所以 [()] [()] 0 dE X t EX t dt ′ ==。 又由于随机过程 ()X t 是可微的，故 () X R τ 的导数必存在，且由于自相关函数 () X R τ 在 0τ = 处取最大值，所以在 0τ = 处 () X R τ 的导数为 0，即 0 () 0 X dR d τ τ τ = = 。 同时 () () X XX dR R d τ τ τ ′ =− ，故 0 () (0) 0 X XX dR R d τ τ τ ′ = =−=， 由于 () { () ( )} XX REXtXtτ τ ′ ′=+，故 (0) { ( ) ( )} 0 XX REXtXt ′ ′= = 其中 {() ()}0EXtXt′ = 表明 ()X t 和 ()X t′ 是正交的。 又 () [ () ( )] () ( ) () XX X X XX KEXtXtmtmtRτ τττ ′′′ ′=+−+= 所以 (0) (0) 0 XX XX KR ′′ ==， 这表明对于给定的 t， 随机变量 ()X t 和 ()X t′ 是不相关的。 归纳：对于随机变量 1 ()X t 和 2 ()Yt ， 要证明它们是正交的，需要证明互相关函数 12 (, ) 0 XY Rtt= ； 要证明它们是不相关的，需要证明互协方差函数 12 (, ) 0 XY Ktt= ； 要证明它们是独立的，需要证明 12 1 2 (, , , ) (, ) (, ) XY X Y f xt yt f xt f yt= 3.2 设有一具有二阶矩的随机变量序列 {(); 1,2,3, }nn= …ξ ， ()nξ 的相关函数为 * 12 1 2 (, ) [() ()]R nn E n n ξξ ξξ= 。若有序列 {}( 1,2,3, ) n an= … ，并定义 1 第四章习题解答 4.1 给定实数 x 和一个平稳随机过程 X(t)，定义理想门限系统的特性为 1() () 0( X tx Yt X tx ≤ ⎧ = ⎨ ⎩ 证明： （ 1） {()} () X EYt F x= （ 2） () (, ) YX RFxτ =−τ。 证明： （ 1）由于 ()Yt只取 0 或 1 两个值，并且有 {() 1} { () }PYt PXt x== ≤， {() 0} { () }PYt PXt x= = 所以 ()Yt的均值为： { ()} 1 { () 1} 0 { () 0}EYt PYt PYt=⋅ = +⋅ = 1{() } () X PXt x F x=⋅ ≤ = （ 2） ()Yt的相关函数为： () [()( )] 1 {() 1,( ) 1} Y REYtYt PYtYtτ= −τ =⋅ = −τ= {() , ( ) } (, ) X PXt xXt x F xx= ≤ −τ ≤ = −τ ，得证。 此题表明，理想门限系统的输出的相关函数在数值上等于输入过程的二维概率密度。 4.2 设对称限幅器的特性为 00 00 () () () () () yXtx Yt Xt x Xt x yX −=− ， {() 1} { () 0} (0) X PYt PXt F=−= ≤ = ， 所以 ()Yt的概率密度为： () [1 (0)] ( 1) (0) ( 1) YX X fy F y F yδ δ=− ⋅ −+ ⋅ +， ()Yt的均值为： [ ( )] 1 [1 (0)] ( 1) (0) 1 2 (0) XXX EYt F F F=⋅− +−⋅ =− 。 （ 2）解法一： （按照 () Y R τ 的定义） () [()( )] { () ( ) 0} { () ( ) 0} Y R EYtYt PXtXt PXtXtτ ττ τ=−= −− −− − = 00 0)(4 ω ωω X G 上式表明，随机信号得的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零，而在正频率为随机信号 功率谱的四倍。 5.5 设一个线性系统输入为 ()X t 时，相应的输出为 ()Yt。证明若该系统的输入为 ()X t 的 希尔波特变换 ˆ ()X t ，则相应的输出为 ()Yt的希尔波特变换 ˆ ()Yt。 5.6 在复随机过程 )(tZ = )(tX + )(tjY 中，如果 )(tZ 的均值 [])(tZE = [])(tXE + [])(tYjE = m Z 是复常数，且 )(tZ 的自相关函数 )}()({ τ− ∗ tZtZE = )(τ Z R 为仅于 τ 有关的复函数，则称 )(tZ 为复平稳随机过程。设 A k ( kn= 12,, ,“ )是 n个实随机变量； ω k ( kn= 12,, ,“ )是 n个实数，试问 { A k }应该满足 怎样的条件才能使 )(tZ = ∑ = n k tj k k eA 1 ω 是一个复平稳随机过程。 5.7 设有复随机过程 )(tZ = () ∑ = + n i iii tjt 1 sincos ωβωα 其中 α i 与 β k 是相互独立的随机变量， α i 与 α k 、 β i 与 β k ()ik≠ 是相互正交的，数学期 望和方差分别为 ][ i E α = ][ i E β =0, σσσ αβ ii i 222 ==。求其复随机过程的相关函数。 解： * 12 1 2 11 2 2 11 112 2 1 12 1 2 1 (, ) {() ( )} [ cos sin ] [ cos sin ] {[ cos sin ][ cos sin ]} {[ cos cos sin cos z nn ii ii kk kk ik nn ii ikk kk ik nn ik i k i i k k ik ik Rtt EZtZt Etjttjt Etjt tjt Ettjtt j == == == = ⎧⎫ =αω+βωαω−βω ⎨⎬ ⎩⎭ =αω+βωαω−βω = ααω ω+βωαω −αβ ∑∑ ∑∑ ∑∑ 12 12 22 12 12 2 12 cos sin sin sin ]} [cos cos sin sin ] cos ( ) ikikik n ii iii i k n ii k tt tt tt tt tt = = ωω+β ωω =σ ω ω+σω ω =σ ω− ∑ ∑ 5.8 设信号 ()X t 的带宽限制在 Ω上，证明信号预包络模平方的带宽为 2Ω。 证： )( ˆ )()( ~ ωωω XjXX += )()(2 ωω UX= 预包络平方的付立叶变换为： ** 1 {() ()} ( ) ( ) 2 1 [2 ( ) ( )][2 ( ) ( )] 2 Fxtxt X X d X UXUd ωω ω ω π ω ωωω ωωω π ∞ −∞ ∞ −∞ ′′′=− ′ ′′′′=−− ∫ ∫   由于有 22 00 Ω +≤≤ Ω − ωωω 时 )(ωX 不为零，因此有 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ Ω +≤′−≤ Ω − Ω +≤′≤ Ω − 22 22 00 00 ωωωω ωωω 时亦不 为零，即 ωωωωω ′+ Ω +≤≤′− Ω − 22 00 ， Ω+≤≤Ω− 00 22 ωωω ，可见频谱宽度为 2Ω。 5.9 对于调频信号 ()X t =cos[ ( )] c tmtω+ ，设 c dttdm ω≤/)( ，即为窄带信号，求该信号的 复包络和包络的表示式。 解：预包络 [()] ˆ () () () () cc jtmt jt X tXtjXte Ate ω ω+ =+ = =  复包络 () () jm t At e=  ，包络 () | ()|