清华大学 信号与系统 课件-第四章：信号的谱表示.pdf

《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 第四章：信号的谱表示 §4.1 [ ] 1 0 L,tt α 上的傅里叶级数（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 3.1， 3.2） [] () () { } 0 1 0 L, | d t t tt ft ft t α α = ∈ −∞ +∞ () 0 jj 22 -0 2 dd tt tt Feeteet αω αω α ω α ω +∞ −−− ∞ =+ = + ∫∫ （ 4-32） 图 4-11 9 单边指数函数： ( ) ( ),0 t ft e ut α α − = () 1 22 11 exp jtg j F ω ω α ωα αω − ⎛⎞ == − ⎜⎟ + ⎝⎠ + () 22 1 F ω α ω = + ， () 1 tg ω φω α − =− （ 4-33） 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 图 4-12 9 符号函数： () 1, 0 sgn 1, 0 t t t ⎧ = ⎨ − ，存在 () ( ) ( ) ( ) 1 1 N nn n n ft fa uta uta + = =−−−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑null ，使 () () + - d 2 ft f t t ε ∞ ∞ − ，当 ω σ 时 ， () () 1 jj - 1 dd n n N a tt n a n f te t fa e t ωω + +∞ −− ∞ = = ∑ ∫∫ null () () 1 jj 11 2 j2 nn aaNN nn ee fa fa ωω ε ωω + −− == − ≤ ≤） ，当 ω σ 时， () () () () + jj -- dd0 22 tt Fftftetftet ωω ε ε ωε ∞+∞ −− ∞∞ ≤− + →∞ ∑ 注： 1）渐近 () 1 OF α ω ω ⎛⎞ =⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ， ω →∞， 0α 。 2） 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () () j - lim lim d 0 t Ffte ω ωω ω +∞ − ∞→∞ →∞ == ∫ ， ( ) ( ) 1 L,ft∀ ∈−∞∞ ( ) j lim , 0 t ft e ω ω→∞ = ， ( ) ( ) 1 L,ft∀ ∈−∞∞ （ 4-74） -j 4-74 lim 0 t e ω ω→∞ = 广义 依（ ） 4-74 4-74 lim cos 0 lim sin 0 t t ω ω ω ω →∞ →∞ ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 广义 依（ ） 广义 依（ ） （ 4-75） 对常义的极限不等于零。 有界变差函数（ Bound Variation Function） ： 9 定义：设 ()f x 是 [ ] ,ab上实函数，对于 [ ] ,ab 上的任一分割 T， 01 n ax x x b==null ，若 () ()() 1 1 0 , nb ii a i fT f x f x V − + = − ∞ ∑ null （ 4-76） 则称 ()f x 是有界变差函数，记为 BV （有界变差函数的全体） 。 9 () f xBV∈ ( ) () fx fx ⎧ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎩ 有界 可写成两个单调增有界函数之差 9 ()f xBV∉ ，则 ( )f x 或者无界或者急剧振荡。 例：在含原点的 ( ),ab∀ ， 1 x ， 1 sin x 。 9 有界变差函数未必绝对可积。 例： () 1 2 2 1 x − + ，在 1x null 时 1 x ∼ 不可积。 Riemann 定理：若 ( ) ( ) 1 L,f tab∈ ，且 ( ) f x 为 ( ) ,ab上 BV （ () ,ab可有 限，可无限） ，则 () 1 OF ω ω ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ， ω →∞。 证明： ()f tBV∈∵ ∴∃单调有界函数 ( ) ( ) 12 ,f tft，使得 ( ) ( )() 12 f tftft=−， 又 () ( ) 1 L,f tab∈ ， 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () () () jj 12 dd bb tt aa Fftetftet ωω ω −− ∴ ≤+ ∫∫ () () () () 112 2 cosd sind cosd sind bbbb aaaa f tttftt ftttfttωωωω≤+++ ∫∫∫∫ ∵第二积分中值定理：若 ( )f x 在 [ ] ,ab上单调， ()gt在 [ ] ,ab上 可积，则 [ ] ,abξ∃∈ ，使 () () () () () () ddd bb aa f tgttfa gttfb gtt ξ ξ =+ ∫∫∫ () () () 11 1 cos d cos d cos df tttfa tfb t ξ ξ ωωω∴ ≤+ () () 11 f bfa≥∵ () () 11 cos d cos d cos d bb aa f tttfb t t ξ ξ ωωω ⎡ ⎤ ∴ ≤+ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫∫ () () 1 1 4 sin sin sin sin fb ab fb ξω ω ω ξω ωωω ⎡− −⎤ =+≤∞ ⎢⎥ ⎣⎦ 同理 . () ( ) ( ) 12 8 f bfb F ω ω ⎡⎤+ ⎣⎦ ∴ ≤ () 1 OF ω ω ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ， ω →∞。 定理：若 () ( ) ( ),, n f tftnull 存在，且有界变差，绝对可积，则 () 1 1 O n F ω ω + ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ 。 证明： () () {} 1 O n ft ω ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ F ， ω →∞ 即 ()() 1 jO n Fωω ω ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ， 即 () 1 1 O n F ω ω + ⎛⎞ =⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 。 若 () 1 1 O n F ω ω + ⎛⎞ =⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ， ω →∞， 则 ( ) ( ) ( ) 1 ,, n f tft − null 连续， ( ) () n f t 有界。 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 §4.8 相关函数与谱分析（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 6.6， 6.7， 6.8） 相关（似）系数： 9 n R ， ,0⊥⇔ =XY XY 图 4-36 9 定义（相关（似）系数） ：对 [ ] 2 ,L,x yab∀∈ ，定义 x与 y 的相关系 数： 22 , xy x y x y ρ = （ 4-77） 注： 1） 22 ,x yxy≤∵ 11 xy ρ∴−≤ ≤ （ 4-78） 2） ,0 0 xy xy x y ρ= ⇔⊥⇔ = （ 4-79） 3） y cx x y= ⇔⇔null 11 22 , ,, xy xcx x xyy ρ = * * 11 22 , 1 ,, xy cxx c c xx cxx ρ= == （ 4-80） c为正实数， 1 xy ρ = ，为正相关， c为负实数， 1 xy ρ =− ，为负相关。 9 正交投影误差与相关系数： 正交投影误差 xε ⊥ （或 0 cx） ⇔（使） 2 ε 最小。 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 图 4-37 0 y cxε =− ， 0 ,0xycx−= 0 , , x y c x x ⇒= 2 00 2 ,ycxycxε =− − *2 * 00 0 ,, , ,yy cxy c xy c xx=− − + 22 22 2 2 ,, min , , x yxy yy y xx x ε =− =− 2 2 2 2 222 ,min 11 xy xy yxy ε ρ=− =− （ 4-81） 其中， 2 2 y ε 为投影的相对误差。 若 1 xy yxρ =± ⇔ null （ 4-81） 式 =0； 若 0 xy yxρ =⇔⊥ （ 4-81） 式 =1。 () 2 L,−∞ +∞ 中信号的相关函数与能谱： 相关系数 22 , xy x y x y ρ = ，只能描述两个没有时差（时间原点相同） 的函数之间的相关（似）性。 9 定义（互相关函数） ：对 ( ) ( ) ( ) 2 ,L,xt yt∀ ∈−∞+∞，定义 () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ** -- , dd xy Rxtyt x ty t t xt y t t ττ ττ +∞ +∞ ∞∞ − =−=+ ∫∫ null （ 4-82） 注： 1） () ( ) ( ) * xy R txtyt=∗− () ( ) * - dxy tτ ττ +∞ ∞ =− ∫ （ 4-83） 2） 共轭对称： 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () () ( ) * - d yx R ytx t tττ +∞ ∞ =− ∫ () ( ) ( ) * ** - d xy ytxt t Rτ τ +∞ ∞ ⎡⎤ =−=− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ （ 4-84） 9 定义（自相关函数） ： () () ( ) () ( ) * - ,d xx R xt xt xtx t tττ τ +∞ ∞ =−= − ∫ （ 4-85） 注： 1） ( ) ( ) ( ) * xx R txtxt= ∗− （ 4-86） 2） 共轭偶对称： ( ) ( ) * xx xx RRτ τ= − （ 4-87） 3） () () () () 2 * -- 0dd xx R xtx t t xt t +∞ +∞ ∞∞ === ∫∫ 能量 （ 4-88） 9 定义（能谱（密度） ） ： () (){} () () () j* d xx xx xx SRReXX ωτ ω τττωω +∞ − −∞ == = ∫ F （ 4-89） 注： 1） () (){} () 1j d xx xx xx R SSef ωτ τωω +∞ − −∞ == ∫ F () () () () * 0d d xx xx R SfXXfωωω +∞ +∞ −∞ −∞ ⇒= = ∫∫ () () ( ) ( ) ** - ddx tx t t X X fωω +∞ +∞ ∞−∞ ⇒= ∫∫ （ 4-90） 能量不变性（欧氏范数不变性 /Parseval 定理） 2）相关函数反映的是动态的相关性，两个函数的时间原点 不同。相关函数也可以归一化： () ( ) ( ) () () 22 , xy xt yt R xt yt τ τ τ − = − （ 4-91） 9 定义（互谱密度） ： () ( ){ } ( ) ( ){ } ( )() ** xy xy SRxtytXYω τωω=∗−=FFnull （ 4-92） 注：互谱密度没有可指称的物理意义。 9 定理（相关定理） ：对 ( ) ( ) ( ) 2 ,L,xt yt∀ ∈−∞+∞，有 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 ( ){ } ( ) ( ) * xy RXYτ ωω=F （ 4-93） 注： () () () () () * - 0d, xy R xty t t xt yt +∞ ∞ == ∫ () () () *j - ed xy R XY f ωτ τωω +∞ ∞ = ∫ () () () () () * - 0d, xy RXYfXYω ωωω +∞ ∞ ⇒= = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ),,xt yt X Yω ω⇒= （ 4-94） 即 () 2 L,−∞ +∞ 中傅里叶变换具有内积不变性。 在 () ()x tyt= 时，即为能量不变性。 功率有限信号的相关函数与功率谱： 周期信号等不是能量有限信号。设 ( ) ( ) 0 x txtnT=− ， () () 2 L, 22 2 T TT T x t xt ut ut ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞⎡ ⎤ =+−−∈− ⎜⎟⎜⎟⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎝⎠⎝⎠⎣ ⎦ ⎣⎦ （ 4-95） （ T 不一定为 0 T ） () () ( ) * 2 2 d T TT R xtx t tττ − =− ∫ （ 4-96） 9 定义：对功率有限信号，定义： () () 1 lim xx T T RR T τ τ →∞ null () ( ) * 2 2 1 lim d T T T x tx t t T τ →∞ − =− ∫ （ 4-97） 9 定义（功率谱（密度） ） ： () (){} () ( ) * 2 2 1 lim d T Txx xx T SR xttt T ωτ τ →∞ − ⎧ ⎫ == − ⎨ ⎬ ⎩⎭ ∫ FF （ 4-98） 9 () () () * 2 2 1 0lim d T Txx T R xtx t t T →∞ − = ∫ （ 4-99） 为功率。 注：功率有限信号的性质与能量有 限信号的性质相似，只是物理含义 不同。 线性定常系统的输入输出相关分析： 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 图 4-38 () () ()yt ht xt=∗ ( ) ( ) ( ) * yy R tytyt= ∗− ( ) ( ) ( ) ( ) ** ht xt h t x t⎡ ⎤=∗∗−∗−⎡⎤ ⎣⎦⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ** ht h t xt x t⎡⎤⎡⎤=∗−∗∗− ⎣⎦⎣⎦ ( ) ( ) hh xx R tRt=∗ （ 4-100） ( ) ( ) ( ) yy hh xx SSSω ωω= （ 4-101） §4.9 匹配滤波器（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 6.9） 问题的提法： 滤波：在信号＋白噪声（噪声＋干扰）中分离信号。 匹配滤波：以发现信号为目的。 维纳滤波：以克隆信号为目的。 需要解决的问题：在加性白噪声的背景下把信号很好的分离。 白噪声： () i nt () () ( ) () * 2 2 1 lim d T T ii T RntnttN T τ τδτ →∞ − −= ∫ null （ 4-102） ( ) ( ){ } i NRNωτ= =F 为常数 （ 4-103） 图 4-39 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 匹配滤波器： 图 4-40 9 定义： ( ) 0 2 00 2 tt st ρ σ = =null 信号的瞬时功率| 噪声的平均功率 （ 4-104） 为在 0 tt= 时刻的（瞬时）峰值信噪比， 其中： () () () 0 2* 2 00 2 1 lim d T Tn T R tntnt T σ →∞ − == ∫ ， () () 0 00 0 | tt st st = = ， ( ) 2 00 st为 ( ) 0 st在 0 tt= 时刻的瞬时功率。 9 定义（匹配滤波器） ：在加性白噪声背景下， 使瞬时信噪比最大的 线性滤波器谓之匹配滤波器。 9 定理（匹配滤波器） ：在加性白噪声背景下，对 ( ) i st实现匹配滤波 器的系统冲激响应： ( ) ( ) * 0i ht ks t t= − ( ) ( ){ } ( ) 0 j* t i HhtkSe ω ωω − ==F （ 4-105） 其中， 0k ≠ ， 0 t 为观测时刻， ( ) ( ) { } ii Sstω = F 。 证明： () ()() 0 2* 0jjd n R NH H fσω +∞ −∞ == ∫ () 2 jdNH fω +∞ −∞ = ∫ ＝常数 () ( )() 0 j 00 jd t i st H S e f ω ωω +∞ −∞ = ∫ () ()() 0 2 2 j 00 jd t i st H S e f ω ωω +∞ −∞ = ∫ () () 0 2 -j* j, t i HSe ω ωω= () () 0 22 -j* 2 2 j t i HSe ω ωω≤ () () 22 jd d i HfSfωω +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫∫ 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () () 2 2 00 2 d i st Sfρω σ +∞ −∞ =≤ ∫ 当 () ( ) 0 j* j t i HkSe ω ωω − = ( ) ( ) { } () -1 * 0i ht H ks t tω⇔ ==−F 时， ρ 取最大值。 注： （ 1） 图 4-41 当 00 0tT tT−⇔时，系统为非因果的； 当 00 0tT tT−≥⇔≥时，系统为因果的。 （ 2） 图 4-42 在观测时刻，读取卷积输出的峰值。 （ 3） () 2 max d i SfNρω +∞ −∞ = ∫ ，其中： max 0 b E n ρ = ， () i S ω 为输入 信号功率谱， () 2 d i Sfω +∞ −∞ ∫ 为输入信号功率， N 为输入白 噪声的功率谱密度。 匹配滤波与相关接受等价： () ( ) ( ) ( ) ( ) * 00iii st st ht st kst t= ∗=∗ − （ 4-106） 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () ( ) ( ) * 00 d i ii s kstst ttkR tττ +∞ −∞ =−+=− ∫ 图 4-43 思考： 上面讨论的是 ( ) ( ){ } i NRNωτ= =F ＝常数的情况， 若 () i N ω ≠ 常数，而是 ω的函数，求使瞬时信噪比最大的（广义）匹配滤波器 () ?ht= §4.10 等效带宽，等效时宽， Heisenberg 测不准（不确定）原理 （《信号与系统》第二版（郑君里） 6.10） 带宽（ f σ ） ，时宽（ t σ ）的定义不唯一，与 ( )f t ， ( ) { } f tF 的特点和应用 场景有关。 ft Cσ σ ≥ （ 4-107） 按波形与谱结构定义： 9 () () ()( )( )Sa c ccc ft t F u u ω ω ωωωωω π =⇔=+−− 图 4-44 4 tω σ σπ= ， 2 fω σ πσ= ， 2 ft σ σ = 。 9 ( ) 2 Sa c tω ⇔三角窗 8 tω σ σπ= 。 按信号特征参数定义： 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () () ( ) 22 1 t ft e ut F α ω α ω − =⇔= + 图 4-45 1 t σ α = ， 2 ω σ α= ， 2 tω σ σ = ( ) () 0 20lg 3dB F F ωα ω ω ω = = =− 等效矩形时宽与等效矩形带宽： 9 若 () 0ft≥ ， () ( )0max t f ft ∀ = ， ( ) 0F ω ≥ ， ( )()0max t FFω ∀ = ，则 定义等效矩形时宽： () () d 0 t f tt f σ +∞ −∞ = ∫ ，定义等效矩形带宽： () () d 0 f Ff F ω σ +∞ −∞ = ∫ ，则 1 ft σ σ = 。 图 4-46 证明： () () () () j 00 0| d| d t F F fte t ft t ω ωω ω +∞ +∞ − == −∞ −∞ == = ∫∫ () () () () j 0| d| d t tt f ft F e f F f ω ωω +∞ +∞ −∞ −∞ == = 代入即得 1 ft σ σ = 。 9 设 ( )f t 是变号函数， ( )F ω 是复变函数，且 ( )() 0 max t f tft ∀ = ， 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () () 0 maxFF ω ω ω ∀ = ，定义： () () 0 d t f tt ft σ +∞ −∞ ∫ null ， () () 0 d f Ff F ω σ ω +∞ −∞ ∫ null ， 则 1 ft σ σ ≥ 。 Heisenberg 测不准原理： 9 对 () ( ) 2 L,ft∀ ∈−∞+∞， () () 2 2 2 f t f t ——归一化瞬时功率， () () 2 2 2 F F ω ω ——归一化能谱密度， () () 22 ft Fω= ， () () 2 2 2 dtft t ft ζ +∞ −∞ ∫ null ——几何中心， () () 2 2 2 1 d 2 F F ω ωω π ξ ω +∞ −∞ ∫ null —— () () 2 2 2 F F ω ω 的几何中心， () ()() 2 2 2 2 2 1 d t tftt ft σζ +∞ −∞ =− ∫ ——时间集散， () ()() 2 2 2 2 2 1 d 2 f F F σ ωξ ω ω πω +∞ −∞ =− ∫ ——频率集散。 9 定理：对 () ( ) 2 L,ft∀ ∈ −∞ +∞ ， ( ) 2 lim 0 t f tt →∞ = ，则 1 2 ft σσ≥ ，且等 号成立时， ()f t 为高斯信号。 证明：设 ()( ),0,0ζξ= ，令 () () 22 2 2 f tF fω==， () () 22 22 4 2 1 dd 2 tf tf t t F f σ σω π +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫∫ () () 22 4 2 1 ddtf t t f t t f +∞ +∞ −∞ −∞ ′= ∫∫ () () 2 4 2 1 dtf t f t t f +∞ −∞ ⎡ ⎤ ′≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 () 2 2 4 2 11 d 2 tf t t f +∞ −∞ ⎡ ⎤ ′ ⎡⎤= ⎣⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ () () 2 2 2 4 2 |d 4 4 ftt ft t f +∞ +∞ −∞ −∞ ⎡⎤ =−= ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ 即： 1 2 tf σσ ≥ ，为使等号成立， ( )()f tktft′ = ( ) () ft kt ft ′ ⇒=（ 0k ） () 2 1 ln ln 2 f tkta⇒=+ () 2 1 2 kt f tae⇒=。 一个信号不可能既带限又时限（一 个信号不可能在时域和频域同时具 有紧支集） ： 9 若 ()f t 为 τ 时限： ( ) ( ) ( ) ( )ft ft ut utτ τ=+−−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ， () () ( ) 1 2Sa 2 FFω ωτωτ π =∗ 是非带限的。 9 若 ()f t 是 σ 带限： ( ) ( ) ( ) ( )FFu uω ωωσ ωσ=+−−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ， () () ()Saf tft t σ σ π =∗ 是非时限的。 9 定理（时宽带宽积的尺度不变性） ： ( ) f t 的时宽带宽积＝ () f tα 的 时宽带宽积， 0α ≠ 。 注：如果 () ( ) 1 L,ft∈−∞+∞，在几乎处处相等的意义上，正演变换 () () j d t Ffte ω ω +∞ − −∞ = ∫ 的反演变换唯一。