清华大学 信号与系统 课件-第五章:拉普拉斯变换.pdf
《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 1 第五章:拉普拉斯变换 §5.1 定义、存在性( 《信号与系统》第二版(郑君里) 4.2) 信号 () f t 的傅里叶变换存在要求: ( ) [ ] 1 L,ft∈ −∞ +∞ ,但 () 1 sgn Lt ∉ , (){ } ( ){ } 0 sgn lim , 0 t tef σ σ σ − → =FF 。考虑是否可以将 t e σ− 纳入积分核? 对因果信号 () () ( )f tftut= , (){ } () () ()j-j 00 dd tttt eft fte e t fte t σωσσω +∞ +∞ −+−− ⎡⎤== ⎣⎦∫∫ F () (){} 0 d st f te t ft +∞ − == ∫ L ( 5-1) 定义信号 () f t 的(单边)拉普拉斯变换为: () (){} () 0 d, j st Fs ft fte ts σ ω +∞ − =+ ∫ nullnullL ( 5-2) () () ()j j 0 1 dd 2 ttt fte fte te σωσω ω π +∞ +∞ −+− −∞ ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ 令 js σ ω=+ , σ 为常数, djds ω= () () () j j j 1 d 2j t f tFses σ σω σ π +∞ + −∞ = ∫ () (){} () j 1 j 1 d 2j st f tFs Fses σ σ π +∞ − −∞ ∫ nullnullL ( 5-3) ( 4-2) 式和 ( 4-3) 式是一对拉普拉斯变换式, ( )f t 称为原函数, ()Fs 称为像函数。 定义(指数阶函数) :指 ( )f t 分段连续(存在有限个第一类间断点) ,且 0, 0MT∃ ,使 () 0 t f tMe σ ≤ ,对 tT∀ 。 注: ( ) () 0 O t f te σ = 。 ()Fs存在: ()Fs () () () () 00 ddd T st st st T Fs fte t fte t fte t +∞ +∞ −−− ==+ ∫∫∫ 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 2 () () 0 dd T st st T f te t fte t +∞ −− ≤+ ∫∫ () () 0 dd T tt T f te t fte t σσ +∞ −− ≤+ ∫∫ () 0 0 0 0 d t M AM e t A σσ σσ σ σ +∞ −− ≤+ = + − ∫ 注: 1) 23 ,,, 0 tt ee t≥null 为非指数阶信号。 2) () t pte α 为指数阶信号,其中 ( )pt 为多项式。 3) 0 σ 为收敛坐标,过 0 σ 垂直于 σ 轴的垂线为收敛轴, 0 σ σ 收敛域 (已知收敛域) 。 图 5-1 例: () ()f tut= () 0 0 1, 1, 0, 0, 0 t ut e M T σσ≤===i 收敛 (){} 0 0 0 1 d| st st e ut e t ss σ − +∞ −+∞ = == − ∫ L ( 5-4) 例: {} ( ) 0 0 1 d| st ttst e eee ss α σα αα αα −+ − +∞ −−− +∞ ==−= + + ∫ L ( 5-5) 例: {} {} 1 0 d nnst n n tte t s +∞ −− == ∫ LL ( 5-6) () {} 1 ut s =L (){} 2 1 tu t s =L ( 5-7) (){} 1 ! n n n tut s + =L ( 5-8) 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 3 积分下限:当 ()f t 在 0t = 处第一类间断, () (){} () 0 d st Fs ft fte t +∞ − == ∫ L () 0 d st f te t +∞ − + = ∫ () 0 d st f te t +∞ − − = ∫ ( 5-9) 注: () () 0 |~ t f ttδ = ′ , ( ) ( ) 0 |~ t f ttδ = ′′ ′ ,解微分方程的初(边)值问题。 §5.2 性质( 《信号与系统》第二版(郑君里) 4.3) 代数性质: 9 线性: () (){} 11 nn ii i i f tftαα == ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ LL ( 5-10) 9 卷积: ( ) ( ){ } ( ) ( ) 12 12 f tft FsFs∗=L ( 5-11) 图 5-2 9 像卷积( s 域卷积) : () (){}() () () ( ) 12 1 2 +j 12 -j 1 2j 1 d 2j ftft Fs Fs FzFsz z σ σ π π ∞ ∞ =∗ =− ∫ L ( 5-12) ( ) 2 f t () 1 f t ( ) ( ) 12 f tft⋅ 图 5-3 拓扑性质(微 /积分性质) : 9 微分: 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 4 () (){}() () () d 00 d ft s ft f sFs f t − − ⎧⎫ =−=− ⎨⎬ ⎩⎭ LL ( 5-13) 证明: () () 0 d d d st f tftet t +∞ − − ⎧⎫ ′= ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ L () ( ) () () ( ) 0 0 |d0 st st fte s fte t sFs f − +∞ −∞ − − − =− =− ∫ 注: 1)对因果信号 ( ) 00f − = , (){}() d p,p d ft sFs t = nullL , p~ ~js ω () ( )pf tsFs⇔ 2) () () ( ) d 0 d ft sFs f t + ⎧⎫ =− ⎨⎬ ⎩⎭ L ( 5-14) 3) ( ){ } ( ){ } 2 ppf tft′=LL ( ) ( ) ( )00ssFs f f − − ′=−⎡⎤ ⎣⎦ ( ) ( ) ( ) 2 00sFs sf f − − ′=− ( 5-15) 特别: () ( ) ( ) ( ) 1 00,00,, 00 n ff f − −− − ′== =null ( ) ( )p nn f tsFs⇔ ( 5-16) 9 积分: () { } () () () () t 1 - 111 d0 p fftFsf ss ττ − ∞ ⎧⎫ ==+ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ LL ( 5-17) , () () () 0 1 0dffτ τ − −∞ = ∫ 证明: () () () { } 0 0 1 dd p t ft f fτ τττ − − −∞ ⎧⎫ =+ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫∫ LL ()(){} () { } 1 0 0d t fut fτ τ − − = ∫ L+L () () () { } 1 0 1 0d t ff s τ τ − − =+ ∫ L 第二项 () 00 dd t st f etττ −− ∞ − = ∫∫ 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 5 () () 00 0 11 dd t st st ef fte ss ττ −− − ∞ ∞ ⎡⎤ =− + ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ () 1 Fs s = () () () () 1 11 1 0 p f tf Fs ss − ⎧⎫ ∴ =+ ⎨⎬ ⎩⎭ L 9 像微分( s 域微分) : (){} () () dd p,ptf t F s F s ss −= =nullL ( 5-18) 9 像积分: () () s 1 df tFzz t ∞ ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ L ( 5-19) 证明: () () ss0 dd d zt Fz z z e ft t ∞∞∞ − = ∫∫∫ () 0 dd zt s f tezt ∞∞ − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫ () () 0 11 d st f tet ft tt ∞ − ⎧ ⎫ == ⎨ ⎬ ⎩⎭ ∫ L 其他性质: 9 平移(延时) : ( ) ( ){ } ( ){ } 0 00 st f ttutt e ft − −−=LL ( 5-20) 图 5-4 9 像平移(调制) : ( ){ } ( ) t fte Fs α α= −L ( 5-21) 例: () {} 1 ut s =L (){}() 00 j-j 0 11 cos 22 tt ut t ut e e ωω ω ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ =+ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩⎭ LL 22 00 0 11 1 2j j s ss sω ωω ⎡⎤ =+= ⎢⎥ −+ + ⎣⎦ ( 5-22) 9 相似(尺度变换) : 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 6 (){} 1 ,0 s fat F a aa ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ L ( 5-23) 9 初值定理: () { } ( ) f tFs=L , ( ) { } f t′L 存在,则 ( ) ( ) ( ) 0 lim 0 lim ts f tf sFs + + →→∞ == ( 5-24) 证明: () ( ) () () { } () () + 11 0 0d st sF s f f t f t e t ∞ − + −= = ∫ L () ( ) () () + 1 0 lim 0 lim d 0 st ss sF s f f t e t ∞ − + →∞ →∞ − ==⎡⎤ ⎣⎦∫ 注: R =∞处的所有点 N⇔ jssσ ω→∞⇔ = + →∞ σ →∞ ω→∞ 0, st es − →→∞ 9 终值定理: () { } ( ) ( ){ } ,f tFs pft=LL存在, ( )sF s 在除原点外的 r π + (右半闭平面)解析,则 ( ) ( ) 0 lim lim ts f tsFs →∞ → = ( 5-25) 证明: () ( ) () () + 1 0 0d st sF s f f t e t ∞ − + =+ ∫ () ( ) () () + 1 000 lim 0 lim d st ss sF s f f t e t ∞ − + →→ =+ ∫ () () + 0 d 0d d f ft t t ∞ + =+ ∫ () ( ) ( ) ( )00ffff ++ =+∞−=∞ 注: 1)应用: 图 5-6 希望输出能够再现输入,即 ( ) ( )()lim 0 0 t yt vt e →∞ − =⇔∞=⎡⎤ ⎣⎦ () () () 00 1 lim lim 1 ss esEss Ws →→ ∞= = + 为稳态误差/系统误差。 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 7 2) 0, j , 0, 0ssσ ωσ ω→=+ →→(慢变信号) 3) 图 5-7 定理条件: ( )sF s 在除原点外的 r π + 解析。 () 0 22 0 cos s ut t s ω ω ⇔ + ,不满足定理条件。 §5.3 拉普拉斯逆变换( 《信号与系统》第二版(郑君里) 4.4) 极点、零点: () (){} ( ) () Ns Fs ft Ds ==L 9 ()F s 的极点 ( ) ii pFp⇔=∞;当 N 与 D互素时, i p 即 ()Ds的零点。 9 ()F s 的零点 ( ) 0 ii zFz⇔=;当 N 与 D互素时, i z 即 ()Ns的零点。 已知 ()F s ,求 ()f t : () () {} () j 1 j 1 d 2j st f tFs Fses σ σ π +∞ − −∞ ∫ nullnullL , 0 max Re i pσ σ= (最右边极点) 图 5-8 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 8 () () () () { } j j 1 ddd 2j st st st CR CR f t Fse s Fse s Fse s σ σ π +∞ −∞ =+− ∫∫∫ () () { } j j 1 dd 2j st st CR Fses Fses σ σ π +∞ −∞ =+ ∫∫ () { } 1 d 2j st C Fse s π = ∫null ( ){ } ( ) Res i st sp i Fse ut = = ∑ ( 5-26) 注: 1) ,CR R =∞,左半平面; 2)充要条件: () 1 d0 2j st CR Fse s π = ∫ ( 5-27) 3) () () () Ns Fs Ds = ,若 deg degND 时,单调渐进于 0 5) 若 Re 0 i p = ,即极点在虚轴上 图 5-13 () 1 0 0 22 0 sin tu t s ω ω ω − ⎧⎫ = ⎨⎬ + ⎩⎭ L () 1 1 ut s − ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ L il p π − ∈ ,模态渐近于 0; 一阶 j i p ω∈ ,模态等幅; 二阶 j i p ω∈ , ( ) 0 sinttutω 模态线性增幅。 6) 若 Re 0 i p , ir p π − ∈ ,模态发散。 图 5-14 虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的。 () ( )() Ys HsVs= 零极分布与响应: 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 13 图 5-15 9 () () { } () ( ){ } () Res Res ij st st zs H sp Vsp ij yt Yse Yse=+ ∑∑ 极点极点 自由响应 强迫响应 9 零输入响应 ⇒自由响应,与 ( )Hs极点有关,与 ( )Hs零点无关; 9 瞬态响应 ⇔ ()Ys在 l π − 上极点贡献 ⇔渐近于 0, t →∞ 稳态响应 ⇔ () Ys在 r π + 上极点贡献 9 快变响应 ⇔远离虚轴极点贡献 慢变响应 ⇔虚轴附近极点贡献 §5.5 线性定常系统频率响应( 《信号与系统》第二版(郑君里) 4.8) 正弦稳态响应、特征函数: 图 5-16 () (){ } ( ){ } () 0 j Res Res i st st zs pHsp ii yt Yse Yse ω= =+ ∑ ∑ 极点 ( )HsBIBO 稳定 0→ () ( ) 0 j 0 j t s y tH e ω ω= 稳态响应 () () ( ) ( ) 0 0 j 0j0 j|j s HH He φ ω ω ωω = == () ( ) () 00 j 0 j t s yt H e ωφω ω ⎡⎤+ ⎣⎦ = ( ) ( ) 00 jj 0 j tt s y tTe H e ω ω ω== ( 5-35) 注: 1) 对矩阵 A, ,0 n ARξλξ ξ=≠∈, λ为特征根, ξ 为特征向量, 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 14 对应上式有: 0 j t e ω 为特征函数, ( ) 0 jH ω 为谱 ↔特征根。 2) ( ) ( ) 00 cosvt A tω θ=+ () ( ) ( )( ) 0000 jcos s yt H A tωωθφω=++ ( 5-36) ( ) ( ) 00 sinvt A tω θ=+ () ( ) ( )( ) 0000 jsin s yt H A tω ωθφω=++ ( 5-37) 频率响应: 当 0 ω 跑遍 ( ),−∞+∞时, ( )jH ω 即系统的频率响应(谱) 。 9 () () ( )j jjHHe φ ω ωω= , 其中, ()jH ω 为系统的幅频特性(响应) ,幅度谱; ()φ ω 为系统的相 频特性(响应) ,相位谱。 9 系统 BIBO 稳定 () ()d l ht t Hs π +∞ − −∞ ⇔⇔∈ ∫ 极点 ( 5-38) 此时, () ( ) { } jHhtω = F 9 () 1 Hs s = ⇔ t dτ −∞ ∫ 图 5-17 ⇔ () ( )ht ut= () () j 1 j| j s HH ω ω ω = ==,而 () () {} () 1 j j Hhtωπδω ω ==+F 两者不 等。 确定频率特性的几何方法: () () () () () 1 1 m j j n i i Ksz Ns Hs Ds sp = = − == − ∏ ∏ 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 15 BIBO 稳定:在 s平面, s沿轴从 ( )jj jH ω−∞→+∞⇒ 图 5-18 () () () i j 11 j 11 j j j k mm jk jj nn ii ii KzKNe H pMe ψ θ ω ω ω == == ⎡ ⎤− ⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎣ ⎦ ∏∏ ∏∏ () () 1 i 1 j 1j j 1 j m k k n i m k j n i i KNe He Me ψ φ ω θ ω = = ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ = ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ = ∑ == ∑ ∏ ∏ () 1 1 j m k j n i i KN H M ω = = = ∏ ∏ () i 11 mn k ki φ ωψθ == =− ∑ ∑ ( 5-39) 注:与正实轴的夹角:逆时针为正,顺时针为负。 例:考虑如下的 ()Hs () i j j j k k i Ne HK M e ψ θ ω = () ()-j jHHK∞ =+∞= 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 16 ()-j 0 22 ππ φ ⎛⎞ ∞=− −− = ⎜⎟ ⎝⎠ ()j0 22 π π φ ∞=−= §5.6 BIBO 稳定性( 《信号与系统》第二版(郑君里) 4.11) 系统稳定性: 零状态稳定性:输入 ∼ 输出,外部稳定性, BIBO 稳定; 零输入稳定性:内部稳定性,李亚谱诺夫稳定性。 BIBO 稳定性: 定义:零状态系统 T 是 BIBO 稳定的:对任一有界输入,其输出均有界。 即对 () ( )L,vt ab ∞ ∀∈ ,恒有 ( ) ( ) ( )TL,yt vt ab ∞ =∈ , 即 () ()sup t vt vt ∞ ∀ = ,则必为非 BIBO 稳定,微分算子。 2)稳定信号 () ( ) ( ) 1 L,ft ft⇔ ∈−∞+∞ 3)临界稳定不是 BIBO 稳定的 定理: 若 () ( ) ( ) ( ) 12 L,, L,ht vt∀ ∈ −∞ +∞ ∀ ∈ −∞ +∞ , 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 L,yt ht vt= ∗ ∈ −∞ +∞ ( 5-42) 图 5-21 证明:依定理条件,令: ()dht t N ∞ −∞ = ∞ ∫ , () 2 dvt t M ∞ −∞ =∞ ∫ , 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 18 () () () dyt h vtτ ττ ∞ −∞ ≤− ∫ ∵ () () () 11 22 dhhvtτ τττ ∞ −∞ =− ∫ () () () 2 ddhhvtτ ττττ ∞∞ −∞ −∞ ⎡⎤⎡ ⎤ ≤− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ ∫∫ ( Cauchy-Schwartz 不等式) () () 1 1 2 2 2 dNhvtτ ττ ∞ −∞ ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ () () () 22 dddyt t N h vt tτ ττ ∞∞∞ −∞ −∞ −∞ ∴ ≤− ∫∫∫ () () 2 ddNvtthτ ττ ∞∞ −∞ −∞ ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ () 2 dNM h N Mττ ∞ −∞ ==∞ ∫ §5.7 全通系统 /最小相移系统( 《信号与系统》第二版(郑君里) 4.10) 全通系统: 定义: ( )Hs为全通系统(函数) ⇔ 1)系统 BIBO 稳定 2) ( )jHKω = ∞ ( 5-43) 注:1) ()jHKω =∞⇔零点与极点(关于虚轴)镜像对称 极点 il p π − ∈ ,零点 ir z π − ∈ , * ii zp=− () 1 n i i i sz Hs K zp = − = − ∏ σ jω S平面 jω Pi Zi o 图 5-22 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 19 2)全通系统的 ()φ ω 是 ω的单调减函数 ω =−∞ ω =+∞ 零点 i z 3/2π → /2π 极点 i p /2π− → /2π ()φ ω 2π → 0 ( )Hs 有个极点/零点 n 2 nπ → 0 最小相移系统: 9 定义: ()Hs为最小相移系统(函数) ⇔ 1) ()Hs的任意极点 il p π − ∈ 2) ()Hs的任意极点 il z π + ∈ 若任意极点 il z π − ∈ ,则为严格最小相移系统。 9 对幅度相同的系统,最小相移系统相移最小。 图 5-23 9 定理:任意 BIBO 稳定的线性定常系统都可由一个全通系统与一个最 小相移系统级联构成。 定理:设 BIBO 稳定 ( )Hs有 m 个零点 1 ,, mr zzπ − ∈null , () () ( ) 1 m mi i Hs H s s z = =− ∏ () () * * 11 mm i mi ii i sz Hs sz sz == − =+ + ∏∏ ( 5-44) 其中, () () * 1 m mi i Hs sz = + ∏ 为最小相移系统, * 1 m i i i sz sz = − + ∏ 为 BIBO 稳定 的全通系统。 9 定理:在所有幅频特性相同的系统中 最小相移系统的群延迟 《信号与系统》 第五章:拉普拉斯变换 20 ()d d p φ ω τ ω −null 最小。 图 5-24 群延迟:反映邻域附近整体的延迟变化 ( )d d p φ ω τ ω −null ( 5-45) 相位延迟: ( ) 1 10 | t ωω φ ωω = = ( ) 1 0 1 | t ω ω φω ω = = ( 5-46) , 0 t 为 1 ω ω= 处的相位延迟。 证明:考虑 BIBO 稳定, ( ) ( ) ( )j jjHHe φ ω ωω= , ( ) ( ) ( )j jj m mm HHe φ ω ωω= 为最小相移系统 () ( ) jj m HHω ω= , 构造 () ( ) () () ()j 0 j j j m m H He H φ ω φ ω ω ω ω −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ == 为全通的, () ( )dd 0 dd m φω φ ω ωω − () ( )dd m φ ωφω ω ω −− m φφ τ τ