清华大学 信号与系统 课件-第五章：拉普拉斯变换.pdf

《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 1 第五章：拉普拉斯变换 §5.1 定义、存在性（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 4.2） 信号 () f t 的傅里叶变换存在要求： ( ) [ ] 1 L,ft∈ −∞ +∞ ，但 () 1 sgn Lt ∉ ， (){ } ( ){ } 0 sgn lim , 0 t tef σ σ σ − → =FF 。考虑是否可以将 t e σ− 纳入积分核？ 对因果信号 () () ( )f tftut= ， (){ } () () ()j-j 00 dd tttt eft fte e t fte t σωσσω +∞ +∞ −+−− ⎡⎤== ⎣⎦∫∫ F () (){} 0 d st f te t ft +∞ − == ∫ L （ 5-1） 定义信号 () f t 的（单边）拉普拉斯变换为： () (){} () 0 d, j st Fs ft fte ts σ ω +∞ − =+ ∫ nullnullL （ 5-2） () () ()j j 0 1 dd 2 ttt fte fte te σωσω ω π +∞ +∞ −+− −∞ ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ 令 js σ ω=+ ， σ 为常数， djds ω= () () () j j j 1 d 2j t f tFses σ σω σ π +∞ + −∞ = ∫ () (){} () j 1 j 1 d 2j st f tFs Fses σ σ π +∞ − −∞ ∫ nullnullL （ 5-3） （ 4-2） 式和 （ 4-3） 式是一对拉普拉斯变换式， ( )f t 称为原函数， ()Fs 称为像函数。 定义（指数阶函数） ：指 ( )f t 分段连续（存在有限个第一类间断点） ，且 0, 0MT∃ ，使 () 0 t f tMe σ ≤ ，对 tT∀ 。 注： ( ) () 0 O t f te σ = 。 ()Fs存在： ()Fs () () () () 00 ddd T st st st T Fs fte t fte t fte t +∞ +∞ −−− ==+ ∫∫∫ 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 2 () () 0 dd T st st T f te t fte t +∞ −− ≤+ ∫∫ () () 0 dd T tt T f te t fte t σσ +∞ −− ≤+ ∫∫ () 0 0 0 0 d t M AM e t A σσ σσ σ σ +∞ −− ≤+ = + − ∫ 注： 1） 23 ,,, 0 tt ee t≥null 为非指数阶信号。 2） () t pte α 为指数阶信号，其中 ( )pt 为多项式。 3） 0 σ 为收敛坐标，过 0 σ 垂直于 σ 轴的垂线为收敛轴， 0 σ σ 收敛域 （已知收敛域） 。 图 5-1 例： () ()f tut= () 0 0 1, 1, 0, 0, 0 t ut e M T σσ≤===i 收敛 (){} 0 0 0 1 d| st st e ut e t ss σ − +∞ −+∞ = == − ∫ L （ 5-4） 例： {} ( ) 0 0 1 d| st ttst e eee ss α σα αα αα −+ − +∞ −−− +∞ ==−= + + ∫ L （ 5-5） 例： {} {} 1 0 d nnst n n tte t s +∞ −− == ∫ LL （ 5-6） () {} 1 ut s =L (){} 2 1 tu t s =L （ 5-7） (){} 1 ! n n n tut s + =L （ 5-8） 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 3 积分下限：当 ()f t 在 0t = 处第一类间断， () (){} () 0 d st Fs ft fte t +∞ − == ∫ L () 0 d st f te t +∞ − + = ∫ () 0 d st f te t +∞ − − = ∫ （ 5-9） 注： () () 0 |~ t f ttδ = ′ ， ( ) ( ) 0 |~ t f ttδ = ′′ ′ ，解微分方程的初（边）值问题。 §5.2 性质（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 4.3） 代数性质： 9 线性： () (){} 11 nn ii i i f tftαα == ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ LL （ 5-10） 9 卷积： ( ) ( ){ } ( ) ( ) 12 12 f tft FsFs∗=L （ 5-11） 图 5-2 9 像卷积（ s 域卷积） ： () (){}() () () ( ) 12 1 2 +j 12 -j 1 2j 1 d 2j ftft Fs Fs FzFsz z σ σ π π ∞ ∞ =∗ =− ∫ L （ 5-12） ( ) 2 f t () 1 f t ( ) ( ) 12 f tft⋅ 图 5-3 拓扑性质（微 /积分性质） ： 9 微分： 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 4 () (){}() () () d 00 d ft s ft f sFs f t − − ⎧⎫ =−=− ⎨⎬ ⎩⎭ LL （ 5-13） 证明： () () 0 d d d st f tftet t +∞ − − ⎧⎫ ′= ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ L () ( ) () () ( ) 0 0 |d0 st st fte s fte t sFs f − +∞ −∞ − − − =− =− ∫ 注： 1）对因果信号 ( ) 00f − = ， (){}() d p,p d ft sFs t = nullL ， p~ ~js ω () ( )pf tsFs⇔ 2） () () ( ) d 0 d ft sFs f t + ⎧⎫ =− ⎨⎬ ⎩⎭ L （ 5-14） 3） ( ){ } ( ){ } 2 ppf tft′=LL ( ) ( ) ( )00ssFs f f − − ′=−⎡⎤ ⎣⎦ ( ) ( ) ( ) 2 00sFs sf f − − ′=− （ 5-15） 特别： () ( ) ( ) ( ) 1 00,00,, 00 n ff f − −− − ′== =null ( ) ( )p nn f tsFs⇔ （ 5-16） 9 积分： () { } () () () () t 1 - 111 d0 p fftFsf ss ττ − ∞ ⎧⎫ ==+ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ LL （ 5-17） ， () () () 0 1 0dffτ τ − −∞ = ∫ 证明： () () () { } 0 0 1 dd p t ft f fτ τττ − − −∞ ⎧⎫ =+ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫∫ LL ()(){} () { } 1 0 0d t fut fτ τ − − = ∫ L+L () () () { } 1 0 1 0d t ff s τ τ − − =+ ∫ L 第二项 () 00 dd t st f etττ −− ∞ − = ∫∫ 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 5 () () 00 0 11 dd t st st ef fte ss ττ −− − ∞ ∞ ⎡⎤ =− + ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ () 1 Fs s = () () () () 1 11 1 0 p f tf Fs ss − ⎧⎫ ∴ =+ ⎨⎬ ⎩⎭ L 9 像微分（ s 域微分） ： (){} () () dd p,ptf t F s F s ss −= =nullL （ 5-18） 9 像积分： () () s 1 df tFzz t ∞ ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ L （ 5-19） 证明： () () ss0 dd d zt Fz z z e ft t ∞∞∞ − = ∫∫∫ () 0 dd zt s f tezt ∞∞ − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫ () () 0 11 d st f tet ft tt ∞ − ⎧ ⎫ == ⎨ ⎬ ⎩⎭ ∫ L 其他性质： 9 平移（延时） ： ( ) ( ){ } ( ){ } 0 00 st f ttutt e ft − −−=LL （ 5-20） 图 5-4 9 像平移（调制） ： ( ){ } ( ) t fte Fs α α= −L （ 5-21） 例： () {} 1 ut s =L (){}() 00 j-j 0 11 cos 22 tt ut t ut e e ωω ω ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ =+ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩⎭ LL 22 00 0 11 1 2j j s ss sω ωω ⎡⎤ =+= ⎢⎥ −+ + ⎣⎦ （ 5-22） 9 相似（尺度变换） ： 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 6 (){} 1 ,0 s fat F a aa ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ L （ 5-23） 9 初值定理： () { } ( ) f tFs=L ， ( ) { } f t′L 存在，则 ( ) ( ) ( ) 0 lim 0 lim ts f tf sFs + + →→∞ == （ 5-24） 证明： () ( ) () () { } () () + 11 0 0d st sF s f f t f t e t ∞ − + −= = ∫ L () ( ) () () + 1 0 lim 0 lim d 0 st ss sF s f f t e t ∞ − + →∞ →∞ − ==⎡⎤ ⎣⎦∫ 注： R =∞处的所有点 N⇔ jssσ ω→∞⇔ = + →∞ σ →∞ ω→∞ 0, st es − →→∞ 9 终值定理： () { } ( ) ( ){ } ,f tFs pft=LL存在， ( )sF s 在除原点外的 r π + （右半闭平面）解析，则 ( ) ( ) 0 lim lim ts f tsFs →∞ → = （ 5-25） 证明： () ( ) () () + 1 0 0d st sF s f f t e t ∞ − + =+ ∫ () ( ) () () + 1 000 lim 0 lim d st ss sF s f f t e t ∞ − + →→ =+ ∫ () () + 0 d 0d d f ft t t ∞ + =+ ∫ () ( ) ( ) ( )00ffff ++ =+∞−=∞ 注： 1）应用： 图 5-6 希望输出能够再现输入，即 ( ) ( )()lim 0 0 t yt vt e →∞ − =⇔∞=⎡⎤ ⎣⎦ () () () 00 1 lim lim 1 ss esEss Ws →→ ∞= = + 为稳态误差／系统误差。 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 7 2） 0, j , 0, 0ssσ ωσ ω→=+ →→（慢变信号） 3） 图 5-7 定理条件： ( )sF s 在除原点外的 r π + 解析。 () 0 22 0 cos s ut t s ω ω ⇔ + ，不满足定理条件。 §5.3 拉普拉斯逆变换（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 4.4） 极点、零点： () (){} ( ) () Ns Fs ft Ds ==L 9 ()F s 的极点 ( ) ii pFp⇔=∞；当 N 与 D互素时， i p 即 ()Ds的零点。 9 ()F s 的零点 ( ) 0 ii zFz⇔=；当 N 与 D互素时， i z 即 ()Ns的零点。 已知 ()F s ，求 ()f t ： () () {} () j 1 j 1 d 2j st f tFs Fses σ σ π +∞ − −∞ ∫ nullnullL ， 0 max Re i pσ σ= （最右边极点） 图 5-8 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 8 () () () () { } j j 1 ddd 2j st st st CR CR f t Fse s Fse s Fse s σ σ π +∞ −∞ =+− ∫∫∫ () () { } j j 1 dd 2j st st CR Fses Fses σ σ π +∞ −∞ =+ ∫∫ () { } 1 d 2j st C Fse s π = ∫null ( ){ } ( ) Res i st sp i Fse ut = = ∑ （ 5-26） 注： 1） ,CR R =∞，左半平面； 2）充要条件： () 1 d0 2j st CR Fse s π = ∫ （ 5-27） 3） () () () Ns Fs Ds = ，若 deg degND 时，单调渐进于 0 5） 若 Re 0 i p = ，即极点在虚轴上 图 5-13 () 1 0 0 22 0 sin tu t s ω ω ω − ⎧⎫ = ⎨⎬ + ⎩⎭ L () 1 1 ut s − ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ L il p π − ∈ ，模态渐近于 0； 一阶 j i p ω∈ ，模态等幅； 二阶 j i p ω∈ ， ( ) 0 sinttutω 模态线性增幅。 6） 若 Re 0 i p ， ir p π − ∈ ，模态发散。 图 5-14 虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的。 () ( )() Ys HsVs= 零极分布与响应： 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 13 图 5-15 9 () () { } () ( ){ } () Res Res ij st st zs H sp Vsp ij yt Yse Yse=+ ∑∑ 极点极点 自由响应 强迫响应 9 零输入响应 ⇒自由响应，与 ( )Hs极点有关，与 ( )Hs零点无关； 9 瞬态响应 ⇔ ()Ys在 l π − 上极点贡献 ⇔渐近于 0， t →∞ 稳态响应 ⇔ () Ys在 r π + 上极点贡献 9 快变响应 ⇔远离虚轴极点贡献 慢变响应 ⇔虚轴附近极点贡献 §5.5 线性定常系统频率响应（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 4.8） 正弦稳态响应、特征函数： 图 5-16 () (){ } ( ){ } () 0 j Res Res i st st zs pHsp ii yt Yse Yse ω= =+ ∑ ∑ 极点 ( )HsBIBO 稳定 0→ () ( ) 0 j 0 j t s y tH e ω ω= 稳态响应 () () ( ) ( ) 0 0 j 0j0 j|j s HH He φ ω ω ωω = == () ( ) () 00 j 0 j t s yt H e ωφω ω ⎡⎤+ ⎣⎦ = ( ) ( ) 00 jj 0 j tt s y tTe H e ω ω ω== （ 5-35） 注： 1） 对矩阵 A， ,0 n ARξλξ ξ=≠∈， λ为特征根， ξ 为特征向量， 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 14 对应上式有： 0 j t e ω 为特征函数， ( ) 0 jH ω 为谱 ↔特征根。 2） ( ) ( ) 00 cosvt A tω θ=+ () ( ) ( )( ) 0000 jcos s yt H A tωωθφω=++ （ 5-36） ( ) ( ) 00 sinvt A tω θ=+ () ( ) ( )( ) 0000 jsin s yt H A tω ωθφω=++ （ 5-37） 频率响应： 当 0 ω 跑遍 ( ),−∞+∞时， ( )jH ω 即系统的频率响应（谱） 。 9 () () ( )j jjHHe φ ω ωω= ， 其中， ()jH ω 为系统的幅频特性（响应） ，幅度谱； ()φ ω 为系统的相 频特性（响应） ，相位谱。 9 系统 BIBO 稳定 () ()d l ht t Hs π +∞ − −∞ ⇔⇔∈ ∫ 极点 （ 5-38） 此时， () ( ) { } jHhtω = F 9 () 1 Hs s = ⇔ t dτ −∞ ∫ 图 5-17 ⇔ () ( )ht ut= () () j 1 j| j s HH ω ω ω = ==，而 () () {} () 1 j j Hhtωπδω ω ==+F 两者不 等。 确定频率特性的几何方法： () () () () () 1 1 m j j n i i Ksz Ns Hs Ds sp = = − == − ∏ ∏ 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 15 BIBO 稳定：在 s平面， s沿轴从 ( )jj jH ω−∞→+∞⇒ 图 5-18 () () () i j 11 j 11 j j j k mm jk jj nn ii ii KzKNe H pMe ψ θ ω ω ω == == ⎡ ⎤− ⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎣ ⎦ ∏∏ ∏∏ () () 1 i 1 j 1j j 1 j m k k n i m k j n i i KNe He Me ψ φ ω θ ω = = ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ = ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ = ∑ == ∑ ∏ ∏ () 1 1 j m k j n i i KN H M ω = = = ∏ ∏ () i 11 mn k ki φ ωψθ == =− ∑ ∑ （ 5-39） 注：与正实轴的夹角：逆时针为正，顺时针为负。 例：考虑如下的 ()Hs () i j j j k k i Ne HK M e ψ θ ω = () ()-j jHHK∞ =+∞= 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 16 ()-j 0 22 ππ φ ⎛⎞ ∞=− −− = ⎜⎟ ⎝⎠ ()j0 22 π π φ ∞=−= §5.6 BIBO 稳定性（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 4.11） 系统稳定性： 零状态稳定性：输入 ∼ 输出，外部稳定性， BIBO 稳定； 零输入稳定性：内部稳定性，李亚谱诺夫稳定性。 BIBO 稳定性： 定义：零状态系统 T 是 BIBO 稳定的：对任一有界输入，其输出均有界。 即对 () ( )L,vt ab ∞ ∀∈ ，恒有 ( ) ( ) ( )TL,yt vt ab ∞ =∈ ， 即 () ()sup t vt vt ∞ ∀ = ，则必为非 BIBO 稳定，微分算子。 2）稳定信号 () ( ) ( ) 1 L,ft ft⇔ ∈−∞+∞ 3）临界稳定不是 BIBO 稳定的 定理： 若 () ( ) ( ) ( ) 12 L,, L,ht vt∀ ∈ −∞ +∞ ∀ ∈ −∞ +∞ ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 L,yt ht vt= ∗ ∈ −∞ +∞ （ 5-42） 图 5-21 证明：依定理条件，令： ()dht t N ∞ −∞ = ∞ ∫ ， () 2 dvt t M ∞ −∞ =∞ ∫ ， 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 18 () () () dyt h vtτ ττ ∞ −∞ ≤− ∫ ∵ () () () 11 22 dhhvtτ τττ ∞ −∞ =− ∫ () () () 2 ddhhvtτ ττττ ∞∞ −∞ −∞ ⎡⎤⎡ ⎤ ≤− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ ∫∫ （ Cauchy-Schwartz 不等式） () () 1 1 2 2 2 dNhvtτ ττ ∞ −∞ ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ () () () 22 dddyt t N h vt tτ ττ ∞∞∞ −∞ −∞ −∞ ∴ ≤− ∫∫∫ () () 2 ddNvtthτ ττ ∞∞ −∞ −∞ ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ () 2 dNM h N Mττ ∞ −∞ ==∞ ∫ §5.7 全通系统 /最小相移系统（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 4.10） 全通系统： 定义： ( )Hs为全通系统（函数） ⇔ 1）系统 BIBO 稳定 2） ( )jHKω = ∞ （ 5-43） 注：１） ()jHKω =∞⇔零点与极点（关于虚轴）镜像对称 极点 il p π − ∈ ，零点 ir z π − ∈ ， * ii zp=− () 1 n i i i sz Hs K zp = − = − ∏ σ jω S平面 jω Pi Zi o 图 5-22 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 19 2）全通系统的 ()φ ω 是 ω的单调减函数 ω =−∞ ω =+∞ 零点 i z 3/2π → /2π 极点 i p /2π− → /2π ()φ ω 2π → 0 ( )Hs 有个极点／零点 n 2 nπ → 0 最小相移系统： 9 定义： ()Hs为最小相移系统（函数） ⇔ 1） ()Hs的任意极点 il p π − ∈ 2） ()Hs的任意极点 il z π + ∈ 若任意极点 il z π − ∈ ，则为严格最小相移系统。 9 对幅度相同的系统，最小相移系统相移最小。 图 5-23 9 定理：任意 BIBO 稳定的线性定常系统都可由一个全通系统与一个最 小相移系统级联构成。 定理：设 BIBO 稳定 ( )Hs有 m 个零点 1 ,, mr zzπ − ∈null ， () () ( ) 1 m mi i Hs H s s z = =− ∏ () () * * 11 mm i mi ii i sz Hs sz sz == − =+ + ∏∏ （ 5-44） 其中， () () * 1 m mi i Hs sz = + ∏ 为最小相移系统， * 1 m i i i sz sz = − + ∏ 为 BIBO 稳定 的全通系统。 9 定理：在所有幅频特性相同的系统中 最小相移系统的群延迟 《信号与系统》 第五章：拉普拉斯变换 20 ()d d p φ ω τ ω −null 最小。 图 5-24 群延迟：反映邻域附近整体的延迟变化 ( )d d p φ ω τ ω −null （ 5-45） 相位延迟： ( ) 1 10 | t ωω φ ωω = = ( ) 1 0 1 | t ω ω φω ω = = （ 5-46） ， 0 t 为 1 ω ω= 处的相位延迟。 证明：考虑 BIBO 稳定， ( ) ( ) ( )j jjHHe φ ω ωω= ， ( ) ( ) ( )j jj m mm HHe φ ω ωω= 为最小相移系统 () ( ) jj m HHω ω= ， 构造 () ( ) () () ()j 0 j j j m m H He H φ ω φ ω ω ω ω −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ == 为全通的， () ( )dd 0 dd m φω φ ω ωω − () ( )dd m φ ωφω ω ω −− m φφ τ τ