清华大学 信号与系统 课件-第一章:绪论.pdf
《信号与系统》讲义 第一章:绪论 1 第一章:绪论 §1.1 信号与系统( 《信号与系统》第二版(郑君里) 1.1) 图 1-1 消息( Message) :信源的输出 +语义学上的理解。 信号( Signal) : Information Vector( Signum) ,它携带或蕴含或本身即为信息。 信息( Information) :消息,内容,情报(牛津英文词典) 。 语用层次上的信息:效用 信息 语义层次上的信息:含义 语法层次上的信息:形式(狭义信息—— Shannon 信息论) 系统 ( System) : 由若干个相互作用的物理对象和物理条件 (统称为系统元件) 组成的具有特定功能的整体。 本课程要解决的两个问题: 信号表示(分析) :把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、理论 和方法,即用简单表示复杂。 信号通过系统的响应: 9 系统分析:在给定系统的条件下,研究系统对于输入激励信号所产生 的输出响应。 9 系统综合:按某种需要规定出系统对于给定激励的响应,并根据此要 求设计系统。 §1.2 信号分类与典型确定性信号( 《信号与系统》第二版(郑君里) 1.2, 1.4) 确定性信号:由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。 随机信号:具有不可预知的不确定性的信号。 非确定性信号 模糊信号: (例:高矮,胖瘦) 。 周期信号: f(t) = f(t + nT), n ∈ Z 非周期信号: f(t)≠ f(t + nT), ∀ n ∈ Z 伪随机信号:具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 2 连续时间信号:在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义(给出确定但 可能不唯一的信号取值)的信号。 模拟信号:时间和取值都连续的信号。 阶梯信号:时间连续、取值离散的信号。 离散时间信号:只在某些不连续的时间点或区间上有定义(给出信号取值) 的信号。 抽样信号:幅值具有无限精度的离散时间信号。 数字信号:幅值具有有限精度的离散时间信号。 图 1-2 典型确定性信号: 指数信号: ( ) t f tKe α = ⋅ ( 1-1) 其中, K、 α为实数。 正弦信号: ( ) ( )sinft A tω θ= + ( 1-2) 其中, A 为幅度, ω 为角频率, θ 为初相位。 单边衰减正弦信号: () ( ) () ( ) 00 sin 0 t t ft Ke t t α ω − 0。 复指数信号: () st f tKe= ( 1-4) 其中: ( )j, ,stσω=+ ∈−∞+∞ 则有: () ( ) ( )cos j sin st t t f tKeKe t Ke t σσ ω ω== + 采样函数: () () sin Sa t ft t t == ( 1-5) 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 3 图 1-3 采样函数的性质: 9 采样函数 ( )Sa t 为偶函数, 在 t 的正、 负两方向振幅都逐渐衰减, 当 ,2, ,tnπ ππ=± ± ±null 时,信号值为零。 9 () 0 Sa d 2 tt π ∞ = ∫ ( 1-6) 9 ()Sa dttπ ∞ −∞ = ∫ ( 1-7) 9 ()Sa dtt ∞ −∞ =∞ ∫ ( 1-8) 高斯函数: () 2 t ft Ee τ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ =⋅ ( 1-9) 图 1-4 高斯函数的性质: 9 高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快, () 0 n i i i f t tα = ∑ 是一个高 阶无穷小量。 9 高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 4 9 高斯函数为正实函数。 光滑函数 () 1 L ∞ Ω : Ω上任意阶导数都存在的函数的集合。 奇异函数: 单位斜变函数: () ,0 0, 0 tt Rt t ≥ ⎧ = ⎨ ⎧ = ⎨ ⎧ ⎪ = ⎧ = ⎨ − ⎧ ⎪ = − ( 1-15) 图 1-7 图 1-8 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 5 §1.3 冲激函数与广义函数( 《信号与系统》第二版(郑君里) 1.4, 2.9) 冲激函数的三种常规定义: 冲激函数的狄拉克( Dirac)定义: () () d1 0, 0 tt tt δ δ +∞ −∞ ⎧ = ⎪ ⎨ = ≠⎪ ⎩ ∫ ( 1-16) 图 1-9 冲激函数的广义极限定义:冲激函数是面积(强度)为 1,等效宽度趋 于 0 的函数的极限。这样的函数可以有多种,以下列出八种: a) 矩形 逼近 () 0 1 lim 22 tutut τ τ τ δ τ → ⎡ ⎤ ⎛⎞⎛⎞ +− − ⎜⎟⎜⎟⎢ ⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣ ⎦ null ( 1-17) 图 1-10 b) 金字塔 逼近 () ()()() 0 1 lim 1 | |ttutut τ δτττ τ → ⎧⎫ −+−−⎡ ⎤ ⎨⎬ ⎣ ⎦ ⎩⎭ null ( 1-18) 图 1-11 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 6 c) 负指数 逼近 () || 0 1 lim , 0 2 t te τ τ δτ τ − → ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ null ( 1-19) 图 1-12 d) 采样函数 逼近 () () ( ) sin lim Sa lim kk kt tkt kt δ ππ →∞ →∞ ⎡ ⎤ ⎡⎤ = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ null ( 1-20) 图 1-13 e) 复指数 逼近 () jj 11 lim d d 22 k tt kk tee ξξ δ ππ ∞ −−→∞ = ∫∫ null ( 1-21) f) 高斯 逼近 () 2 0 1 lim t te π τ τ δ τ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ → ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ null ( 1-22) g) () ( ) 2 2 sin lim k kt t kt δ π →∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ null ( 1-23) h) () () 22 lim 1 n n t nt δ π →∞ + null ( 1-24) 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 7 检验函数定义: 9 定义(检验函数的通俗定义, test function) :区间 Ω(a, b)上的光滑函 数 () tφ 称为检验函数, ab−∞ ∞。检验函数的全体记为 ( ) ΩD 。 9 冲激函数的检验函数定义:对于 ( )tφ∀ ∈ ( )ΩD ,若有: () ( ) ( ) ( ) ( )d0ft t ft t tφφφ Ω = ∫ null, ( 1-25) ,则 ( ) ( )f ttδnull ( 1-26) 冲激函数的性质: 取样(筛选) :若 ( )f t 有界,且在 t = 0 连续,则有: ( ) ( ) ( ) ( ) 0f ttf tδδ= ( 1-27) 尺度变换: () () 1 ttδα δ α = ( 1-28) 偶函数: ( ) ( ) ttδδ−= ( 1-29) 积分: () ()d t ut t tδ −∞ = ∫ ( 1-30) 定义(积分算子) : 1 d p t τ −∞ ∫ null ( 1-31) 为积分算子,则 () () 1 p ut tδ= ( 1-32) () ( )d d ut t t δ = ( 1-33) 定义(微分算子) : d p dt null ( 1-34) 为微分算子,则: ( ) ( )ptutδ = ( 1-35) () ( ) ( ) ( ) ( )d0tt tttδφ δφ φ Ω == ∫ , ( 1-36) 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 8 其中 ( )tφ 有界,且在 t = 0 处连续。 筛选特性: ()( ) ( ) ( ) ( ) 000 dtt t tt t t tδφδφφ Ω −=−= ∫ , ( 1-37) ()()() () 1 00 f tft ttδδ − ′= − ( 1-38) 其中, ()f t 是 t 的单调函数, ( ) ( ) 00 00ft f t′= ≠, 。 证明: ()tφ∀ ∈ ( )ΩD ,考虑 ( ) ( ) ( ) ()()() df xx fxxxδφδφ Ω = ∫ , , 令 () ( ) ( ) 0 0,d dy fx y fx y f x x′=⇒= == , 上式 = ()() () () () 1 d fa fb y xy fx δφ ′ ∫ () () () ( ) d fa fb yyyδ Ψ ∫ null () ( ) () 0 0 0 x f x φ =Ψ = ′ ()( ) ( ) 00 x xfx xδφ′=−/, ()()() () 1 00 f tft ttδδ − ′⇒= − #证毕 若光滑函数 ()f t 满足: ( ) 12 ,, |0 ttt ft = = … ,且 ( ) 0 1, 2,. i ft i′ ≠∀=, ,则: ()() () () 1 ii i f tfttδδ − ′= − ∑ ( 1-39) 广义函数(简称广函) : 定义( supp— support 承托/支撑) :称 supp () { } (){ } |0 n fx X R fx= ∈≠ ( 1-40) 即 ()f x 的非零点,为 ( )f x 的支撑。即把函数“支撑”起来的那些点集。其 中, () { } |0 n XRfx∈≠为集合 ( ) { } |0 n XRfx∈ ≠ 的闭包。 定义(检验函数的严格定义) :设 Ω ⊆ R n 为开域, φ是 Ω 上的实(复) 函数,具有以下性质: 1) φ是 Ω 上的光滑函数(各阶导数处处存在) ; 2) supp{φ}是 Ω 上的有界闭集(称为紧集) 。 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 9 则称 φ是 Ω 上的检验函数。检验函数的全体记为 D(Ω)。 例: () 1,1 0 , 1 xx fx x ⎧− ⎪ = ⎨ ≥ ⎪ ⎩ 图 1-13 (),Ω−∞+∞null , { } [ ]supp 1,1f =− 有界闭,但在 0x = 处 ()f x 的左、右 导数不等,导数不存在,所以 ( )f x 不是一个检验函数。 例: () 1 exp , 1 1 0 , 1 x xfx x ⎧ ⎛⎞ − ⎪ ⎜⎟ −= ⎨ ⎝⎠ ⎪ ≥ ⎩ { } [ ]supp 1,1f =− 是 ( ),R −∞+∞null 中的有界闭集, ()f x 对 (),xR∀∈ −∞+∞null 无穷可导, ( ) ( )fx Ω∴ ∈ D 。 定义(广函) :给定函数列 () { } 1 m m fx ∞ = ,若对于 ( )xφ∀ ∈ D(Ω),均有: () ( ) ( ) ( )lim m m f xx fxxφφ →∞ =,, ( 1-41) 即: ()() lim ()()d m m f xxdx fxxxφφ ΩΩ→∞ = ∫∫ ( 1-42) 则称 ( )f x 是 (){ } 1 m m fx ∞ = 的弱极限,或称为广义极限。反过来, 称 () { } 1 m m fx ∞ = 弱收敛于 ( )f x ,而 ( )f x 称为 D(Ω)上的广义函数。 亦即:广义函数是函数序列的某种极限。 冲激函数的广义函数定义:对于 ( )xφ∀ ∈ D(Ω),若有: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim d 0 m m fx x fx x fx xtφφφφ →∞ Ω === ∫ ,, ( 1-43) 则: ( ) ( ) ( )lim m m f xfxxδ →∞ = null ( 1-44) 为冲激函数。 广函的(广义)导数: ( )xφ ∈ D(Ω)在区间 [,]ab之外恒为 0。考虑 D(Ω) 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 10 上的广函 ()f x ,则有: () () () ( ) () () () 1 n n n f xx fx xφφ=−,, ( 1-45) 即: () ()() ( ) () () () d1 d bb n nn aa f xxx fx xxφφ=− ∫∫ ( 1-46) 特别地, () () () () () () () () () ()110 nn n xx x xδφ δφ φ=− =−,, ( 1-47) 冲激偶 ( )xδ′ : 已知 ()f x 连续可微, () () () ( ) () ()( ) () () 0 101 n nk nnkkk n k x fx Cf xδδ − = =− − ∑ ( 1-48) 特别地, () () ( ) ( ) ( ) ( )00f xx f xf xδδδ′′ ′=− + ( 1-49) , ()xδ′ 称为冲激偶。 证明:对 ()xφ∀∈ D(Ω), () ()() (), n x fx xδφ ( ) () ( ) ( )d n x fx x xδφ Ω = ∫ ( ) ()() ( ) 0 1| n n x fx xφ = =− ⎡ ⎤ ⎣⎦ () () () () () 0 0 1 n n nk kk n k x Cf x xφ − = = ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ ∑ () () () () () 0 100 n n nk kk n k Cf φ − = =− ∑ () () () () () () 0 10, n nk nk nk n k Cf x xδφ + − = =− ∑ () ()() ( ) () ()( ) () () 0 101 n nk nnkkk n k x fx Cf xδδ − = ⇒=− − ∑ 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 11 图 1-14 图 1-15 冲激偶的性质: 9 奇函数: ( ) ( )ttδδ′′=−− ( 1-50) 9 () d0ttδ ∞ −∞ ′ = ∫ ( 1-51) 9 () ( )d d t t t δ δ′ = ( 1-52) 9 () () ()() () () dd 00tt t tδφ δφ φδ′==⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ ( 1-53) 9 () () 11 ttδα δ αα ′ ′= ( 1-54) §1.4 信号分解( 《信号与系统》第二版(郑君里) 1.5) 直流分量与交流分量: 直流分量:信号的平均值称为信号的直流分量。 直流分量= ( ) d f t null () 1 d b a f tt ba− ∫ ( 1-55) 交流分量:从原信号中去掉直流分量即得到信号的交流分量。 交流分量= ( ) a f t null ( )f t -直流 ( 1-56) 交直流分解: ( )f t = ( ) d f t + ( ) a f t ( 1-57) 奇分量与偶分量: 偶分量: () () ( ) 1 2 e f tftft= +−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( 1-58) 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 12 奇分量: () () ( ) 1 2 o f tftft= −−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( 1-59) 奇偶分解: ( )f t = ( ) e f t + ( ) o f t ( 1-60) 实部分量与虚部分量: 实部: () () () * 1 2 r f tftft⎡ ⎤=+ ⎣ ⎦ ( 1-61) 虚部: () () () * 1 j 2 i f tftft⎡ ⎤=− ⎣ ⎦ ( 1-62) 虚实分解: ( ) f t = ( ) r f t + ( ) j i f t ( 1-63) 脉冲分解: 图 1-16 () () ( ) ( ) max 0 lim i iii t i i ut t ut t t f tft t t ∞ Δ→ =−∞ −− −−Δ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =Δ Δ ∑ ()( ) max 0 lim i iii t i f ttttδ ∞ Δ→ =−∞ =−Δ ∑ ()( )dftτ δττ ∞ −∞ =− ∫ (此式即 ( )tδ 的筛选特性) () ()f ttδ∗null ( 1-64) 即:信号的脉冲分解的极限形式,是信号与冲激函数的卷积。 正交分解: 信号可以用完备正交函数集来表示; 组成信号的各分量相互正交。 正交分解与脉冲分解的极限形式可以通过 Fourier 变换统一。 §1.5 系统分类( 《信号与系统》第二版(郑君里) 1.6) 简单/复杂系统: 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 13 简单系统:利用传统的简化论与还原论方法(整体等于部分和)可以处 理的系统。比如,线性系统是简单系统。 复杂系统:由数量适当(不多也不少)且具有局部非线性 ... 作用的个体元 素( agent)组成,并能够产生整体涌现 .. 行为的适应性系统。 涌现( emergence) :个体之间相互作用使整体产生新特征的现象。 连续时间/离散时间/混合系统: 连续时间系统:若系统的输入和输出都是连续时间信号,且其内部信号 也未转换为离散时间信号,则称此系统为连续时间系统。 离散时间系统:若系统的输入和输出都是离散时间信号,则称此系统为 离散时间系统。 混合系统:离散时间系统和连续时间系统混合运用的系统。 即时/动态系统: 即时系统(无记忆系统) :如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励 信号,与它过去的状态(历史)无关,则称此系统为即时系统,亦称为 无记忆系统。 动态系统(有记忆系统) :如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激 励信号,而且与它过去的工作状态有关,则称此系统为动态系统,亦称 为有记忆系统。常见的有记忆元件有:电容、电感、磁芯、寄存器等。 集总参数/分布参数系统: 集总参数系统:由集总参数元件(在元件的空间区域内各点信号可看作 常数)组成的系统,是集总参数系统。描述集总参数系统的数学模型是 以时间(而非空间)为自变量的微分方程 /差分方程。 分布参数系统:含有分布参数元件(在元件的空间区域内各点信号不能 看作常数)的系统,是分布参数系统。 时变 /时不变系统: 时变系统:如果系统的部分或全部参数随时间变化,则称为时变系统。 时不变系统: 如果系统的所有参数都不随时间变化, 则称为时不变系统。 线性 /非线性系统: 线性系统:具有叠加性与均匀性(也称齐次性)的系统称为线性系统。 非线性系统:不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。 确定 /非确定系统: 确定系统:系统响应随激励信号和系统状态按确定关系变化的系统。 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 14 非确定系统:系统响应与激励信号和系统状态之间无确定关系的系统。 如随机系统、模糊系统、混沌系统。 §1.6 线性系统( 《信号与系统》第二版(郑君里) 1.7) 系统的输入——输出描述: 图 1-17 定义(零状态系统) :初始储能为零的系统称为零状态系统,也称为初 始松弛的系统。 定义(冲激响应 () ht) :输入为单位冲激函数时的零状态响应。 ( ) ( )Tht tδnull ( 1-65) 因果律: 9 定义(因果系统) : ( )y t 只与 (]t−∞, 的输入 ( )x t 有关,而与 ()t ∞, 的输入无关,则称该系统为因果系统。 9 初始松弛,因果律 ( ) T( ,]y txt⇔=−∞ ( ) ( ) ( )ht ht ut= ( 1-66) 9 定义(因果信号) :亦称右边信号 ( ) ( ) ( )f tftut= ( 1-67) 9 定义(逆因果信号) :亦称左边信号 ( ) ( ) ( )f tftut= − ( 1-68) 9 定义(截取) : ( )x t 的 τ 截取为 () ( ) ( ) ( ) ( )x t xt xt ut ut ττ τ== −−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( 1-69) 9 定义(因果算子 T) :对零状态算子 T,若 ( ) [ ] TT()x txt τ ττ =⎡⎤ ⎣⎦ ,则 称 T 为因果算子。即:算子映射的截断等于截断后映射的截断。 时不变( Time Invariant—— TI) :亦称定常。 9 物理上,数理参数时不变。 9 对零状态 T,定常指满足: () ( ) ( ) ( ) 00 TTy txtytt xtt=⇔−=− ( 1-70) 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 15 () ( ) ( )T() Tht t ht tδ τδτ=⇔−=− ( 1-71) 9 对零状态 T,时变指满足: ( ) ( )T,thtδ ττ−= ( 1-72) 线性系统: 9 定义(线性系统) :零状态 T 是线性系统,若满足: () ( ) ( ) ( ) 11 2 2 1 1 2 2 TTTx txt xt xtαα α α+=+⎡⎤ ⎣⎦ ( 1-73) ⇔ 1) 叠加性: () ( ) ( ) ( ) 12 1 2 TTTx txt xt xt+=+⎡⎤ ⎣⎦ ( 1-74) 2)齐次性(均匀性) : 。 ( ) ( ) 11 1 1 TTx txtαα=⎡⎤ ⎣⎦ ( 1-75) 9 一般地,由叠加性可得到齐次性,但由齐次性不一定得到叠加性。 9 () 11 T()T NN ii i i x txtαα == ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∑∑ ( 1-76) 信号 ()x t 通过零状态 LTI 系统: 对线性定常系统,其零状态响应为: () () ( ) () ()dy t x ht xt htτττ ∞ −∞ =−=∗ ∫ ( 1-77) 图 1-18 对线性时变系统,其零状态响应为: () () ( )dyt x htτ ττ ∞ −∞ = ∫ , ( 1-78) 放大/衰减: ( ) ( ) ht K tδ= ( 1-79) 图 1-19 微分: () () () () d p d ht t t t t δδδ′=== ( 1-80) 《信号与系统》讲义 第一章:绪论 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p nn ht t tδδ== ( 1-81) 图 1-20 图 1-21 积分: () () ()d t ht t t utδ −∞ == ∫ ( 1-82) 图 1-22