清华大学 信号与系统 课件-第一章：绪论.pdf

《信号与系统》讲义 第一章：绪论 1 第一章：绪论 §1.1 信号与系统（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 1.1） 图 1-1 消息（ Message） ：信源的输出 +语义学上的理解。 信号（ Signal） ： Information Vector（ Signum） ，它携带或蕴含或本身即为信息。 信息（ Information） ：消息，内容，情报（牛津英文词典） 。 语用层次上的信息：效用 信息 语义层次上的信息：含义 语法层次上的信息：形式（狭义信息—— Shannon 信息论） 系统 （ System） ： 由若干个相互作用的物理对象和物理条件 （统称为系统元件） 组成的具有特定功能的整体。 本课程要解决的两个问题： — 信号表示（分析） ：把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、理论 和方法，即用简单表示复杂。 — 信号通过系统的响应： 9 系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生 的输出响应。 9 系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要 求设计系统。 §1.2 信号分类与典型确定性信号（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 1.2， 1.4） 确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。 随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。 非确定性信号 模糊信号： （例：高矮，胖瘦） 。 周期信号： f(t) = f(t + nT)， n ∈ Z 非周期信号： f(t)≠ f(t + nT)， ∀ n ∈ Z 伪随机信号：具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 2 连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但 可能不唯一的信号取值）的信号。 模拟信号：时间和取值都连续的信号。 阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。 离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值） 的信号。 抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。 数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。 图 1-2 典型确定性信号： — 指数信号： ( ) t f tKe α = ⋅ （ 1-1） 其中， K、 α为实数。 — 正弦信号： ( ) ( )sinft A tω θ= + （ 1-2） 其中， A 为幅度， ω 为角频率， θ 为初相位。 — 单边衰减正弦信号： () ( ) () ( ) 00 sin 0 t t ft Ke t t α ω − 0。 — 复指数信号： () st f tKe= （ 1-4） 其中： ( )j, ,stσω=+ ∈−∞+∞ 则有： () ( ) ( )cos j sin st t t f tKeKe t Ke t σσ ω ω== + — 采样函数： () () sin Sa t ft t t == （ 1-5） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 3 图 1-3 采样函数的性质： 9 采样函数 ( )Sa t 为偶函数， 在 t 的正、 负两方向振幅都逐渐衰减， 当 ,2, ,tnπ ππ=± ± ±null 时，信号值为零。 9 () 0 Sa d 2 tt π ∞ = ∫ （ 1-6） 9 ()Sa dttπ ∞ −∞ = ∫ （ 1-7） 9 ()Sa dtt ∞ −∞ =∞ ∫ （ 1-8） — 高斯函数： () 2 t ft Ee τ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ =⋅ （ 1-9） 图 1-4 高斯函数的性质： 9 高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快， () 0 n i i i f t tα = ∑ 是一个高 阶无穷小量。 9 高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 4 9 高斯函数为正实函数。 — 光滑函数 () 1 L ∞ Ω ： Ω上任意阶导数都存在的函数的集合。 奇异函数： — 单位斜变函数： () ,0 0, 0 tt Rt t ≥ ⎧ = ⎨ ⎧ = ⎨ ⎧ ⎪ = ⎧ = ⎨ − ⎧ ⎪ = − （ 1-15） 图 1-7 图 1-8 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 5 §1.3 冲激函数与广义函数（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 1.4， 2.9） 冲激函数的三种常规定义： — 冲激函数的狄拉克（ Dirac）定义： () () d1 0, 0 tt tt δ δ +∞ −∞ ⎧ = ⎪ ⎨ = ≠⎪ ⎩ ∫ （ 1-16） 图 1-9 — 冲激函数的广义极限定义：冲激函数是面积（强度）为 1，等效宽度趋 于 0 的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种： a) 矩形 逼近 () 0 1 lim 22 tutut τ τ τ δ τ → ⎡ ⎤ ⎛⎞⎛⎞ +− − ⎜⎟⎜⎟⎢ ⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣ ⎦ null （ 1-17） 图 1-10 b) 金字塔 逼近 () ()()() 0 1 lim 1 | |ttutut τ δτττ τ → ⎧⎫ −+−−⎡ ⎤ ⎨⎬ ⎣ ⎦ ⎩⎭ null （ 1-18） 图 1-11 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 6 c) 负指数 逼近 () || 0 1 lim , 0 2 t te τ τ δτ τ − → ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ null （ 1-19） 图 1-12 d) 采样函数 逼近 () () ( ) sin lim Sa lim kk kt tkt kt δ ππ →∞ →∞ ⎡ ⎤ ⎡⎤ = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ null （ 1-20） 图 1-13 e) 复指数 逼近 () jj 11 lim d d 22 k tt kk tee ξξ δ ππ ∞ −−→∞ = ∫∫ null （ 1-21） f) 高斯 逼近 () 2 0 1 lim t te π τ τ δ τ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ → ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ null （ 1-22） g) () ( ) 2 2 sin lim k kt t kt δ π →∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ null （ 1-23） h) () () 22 lim 1 n n t nt δ π →∞ + null （ 1-24） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 7 — 检验函数定义： 9 定义（检验函数的通俗定义， test function） ：区间 Ω(a, b)上的光滑函 数 () tφ 称为检验函数， ab−∞ ∞。检验函数的全体记为 ( ) ΩD 。 9 冲激函数的检验函数定义：对于 ( )tφ∀ ∈ ( )ΩD ，若有： () ( ) ( ) ( ) ( )d0ft t ft t tφφφ Ω = ∫ null， （ 1-25） ，则 ( ) ( )f ttδnull （ 1-26） 冲激函数的性质： — 取样（筛选） ：若 ( )f t 有界，且在 t = 0 连续，则有： ( ) ( ) ( ) ( ) 0f ttf tδδ= （ 1-27） — 尺度变换： () () 1 ttδα δ α = （ 1-28） — 偶函数： ( ) ( ) ttδδ−= （ 1-29） — 积分： () ()d t ut t tδ −∞ = ∫ （ 1-30） 定义（积分算子） ： 1 d p t τ −∞ ∫ null （ 1-31） 为积分算子，则 () () 1 p ut tδ= （ 1-32） — () ( )d d ut t t δ = （ 1-33） 定义（微分算子） ： d p dt null （ 1-34） 为微分算子，则： ( ) ( )ptutδ = （ 1-35） — () ( ) ( ) ( ) ( )d0tt tttδφ δφ φ Ω == ∫ ， （ 1-36） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 8 其中 ( )tφ 有界，且在 t = 0 处连续。 — 筛选特性： ()( ) ( ) ( ) ( ) 000 dtt t tt t t tδφδφφ Ω −=−= ∫ ， （ 1-37） — ()()() () 1 00 f tft ttδδ − ′= − （ 1-38） 其中， ()f t 是 t 的单调函数， ( ) ( ) 00 00ft f t′= ≠， 。 证明： ()tφ∀ ∈ ( )ΩD ，考虑 ( ) ( ) ( ) ()()() df xx fxxxδφδφ Ω = ∫ ， ， 令 () ( ) ( ) 0 0,d dy fx y fx y f x x′=⇒= == ， 上式 = ()() () () () 1 d fa fb y xy fx δφ ′ ∫ () () () ( ) d fa fb yyyδ Ψ ∫ null () ( ) () 0 0 0 x f x φ =Ψ = ′ ()( ) ( ) 00 x xfx xδφ′=−/， ()()() () 1 00 f tft ttδδ − ′⇒= − #证毕 — 若光滑函数 ()f t 满足： ( ) 12 ,, |0 ttt ft = = … ，且 ( ) 0 1, 2,. i ft i′ ≠∀=， ，则： ()() () () 1 ii i f tfttδδ − ′= − ∑ （ 1-39） 广义函数（简称广函） ： — 定义（ supp— support 承托／支撑） ：称 supp () { } (){ } |0 n fx X R fx= ∈≠ （ 1-40） 即 ()f x 的非零点，为 ( )f x 的支撑。即把函数“支撑”起来的那些点集。其 中， () { } |0 n XRfx∈≠为集合 ( ) { } |0 n XRfx∈ ≠ 的闭包。 — 定义（检验函数的严格定义） ：设 Ω ⊆ R n 为开域， φ是 Ω 上的实（复） 函数，具有以下性质： 1) φ是 Ω 上的光滑函数（各阶导数处处存在） ； 2) supp{φ}是 Ω 上的有界闭集（称为紧集） 。 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 9 则称 φ是 Ω 上的检验函数。检验函数的全体记为 D(Ω)。 例： () 1,1 0 , 1 xx fx x ⎧− ⎪ = ⎨ ≥ ⎪ ⎩ 图 1-13 (),Ω−∞+∞null ， { } [ ]supp 1,1f =− 有界闭，但在 0x = 处 ()f x 的左、右 导数不等，导数不存在，所以 ( )f x 不是一个检验函数。 例： () 1 exp , 1 1 0 , 1 x xfx x ⎧ ⎛⎞ − ⎪ ⎜⎟ −= ⎨ ⎝⎠ ⎪ ≥ ⎩ { } [ ]supp 1,1f =− 是 ( ),R −∞+∞null 中的有界闭集， ()f x 对 (),xR∀∈ −∞+∞null 无穷可导， ( ) ( )fx Ω∴ ∈ D 。 — 定义（广函） ：给定函数列 () { } 1 m m fx ∞ = ，若对于 ( )xφ∀ ∈ D(Ω)，均有： () ( ) ( ) ( )lim m m f xx fxxφφ →∞ =，， （ 1-41） 即： ()() lim ()()d m m f xxdx fxxxφφ ΩΩ→∞ = ∫∫ （ 1-42） 则称 ( )f x 是 (){ } 1 m m fx ∞ = 的弱极限，或称为广义极限。反过来， 称 () { } 1 m m fx ∞ = 弱收敛于 ( )f x ，而 ( )f x 称为 D(Ω)上的广义函数。 亦即：广义函数是函数序列的某种极限。 — 冲激函数的广义函数定义：对于 ( )xφ∀ ∈ D(Ω)，若有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim d 0 m m fx x fx x fx xtφφφφ →∞ Ω === ∫ ，， （ 1-43） 则： ( ) ( ) ( )lim m m f xfxxδ →∞ = null （ 1-44） 为冲激函数。 — 广函的（广义）导数： ( )xφ ∈ D(Ω)在区间 [,]ab之外恒为 0。考虑 D(Ω) 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 10 上的广函 ()f x ，则有： () () () ( ) () () () 1 n n n f xx fx xφφ=−，， （ 1-45） 即： () ()() ( ) () () () d1 d bb n nn aa f xxx fx xxφφ=− ∫∫ （ 1-46） 特别地， () () () () () () () () () ()110 nn n xx x xδφ δφ φ=− =−，， （ 1-47） 冲激偶 ( )xδ′ ： — 已知 ()f x 连续可微， () () () ( ) () ()( ) () () 0 101 n nk nnkkk n k x fx Cf xδδ − = =− − ∑ （ 1-48） 特别地， () () ( ) ( ) ( ) ( )00f xx f xf xδδδ′′ ′=− + （ 1-49） ， ()xδ′ 称为冲激偶。 证明：对 ()xφ∀∈ D(Ω)， () ()() (), n x fx xδφ ( ) () ( ) ( )d n x fx x xδφ Ω = ∫ ( ) ()() ( ) 0 1| n n x fx xφ = =− ⎡ ⎤ ⎣⎦ () () () () () 0 0 1 n n nk kk n k x Cf x xφ − = = ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ ∑ () () () () () 0 100 n n nk kk n k Cf φ − = =− ∑ () () () () () () 0 10, n nk nk nk n k Cf x xδφ + − = =− ∑ () ()() ( ) () ()( ) () () 0 101 n nk nnkkk n k x fx Cf xδδ − = ⇒=− − ∑ 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 11 图 1-14 图 1-15 — 冲激偶的性质： 9 奇函数： ( ) ( )ttδδ′′=−− （ 1-50） 9 () d0ttδ ∞ −∞ ′ = ∫ （ 1-51） 9 () ( )d d t t t δ δ′ = （ 1-52） 9 () () ()() () () dd 00tt t tδφ δφ φδ′==⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ （ 1-53） 9 () () 11 ttδα δ αα ′ ′= （ 1-54） §1.4 信号分解（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 1.5） 直流分量与交流分量： — 直流分量：信号的平均值称为信号的直流分量。 直流分量＝ ( ) d f t null () 1 d b a f tt ba− ∫ （ 1-55） — 交流分量：从原信号中去掉直流分量即得到信号的交流分量。 交流分量＝ ( ) a f t null ( )f t －直流 （ 1-56） — 交直流分解： ( )f t ＝ ( ) d f t + ( ) a f t （ 1-57） 奇分量与偶分量： — 偶分量： () () ( ) 1 2 e f tftft= +−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ （ 1-58） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 12 — 奇分量： () () ( ) 1 2 o f tftft= −−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ （ 1-59） — 奇偶分解： ( )f t = ( ) e f t + ( ) o f t （ 1-60） 实部分量与虚部分量： — 实部： () () () * 1 2 r f tftft⎡ ⎤=+ ⎣ ⎦ （ 1-61） — 虚部： () () () * 1 j 2 i f tftft⎡ ⎤=− ⎣ ⎦ （ 1-62） — 虚实分解： ( ) f t = ( ) r f t + ( ) j i f t （ 1-63） 脉冲分解： 图 1-16 () () ( ) ( ) max 0 lim i iii t i i ut t ut t t f tft t t ∞ Δ→ =−∞ −− −−Δ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =Δ Δ ∑ ()( ) max 0 lim i iii t i f ttttδ ∞ Δ→ =−∞ =−Δ ∑ ()( )dftτ δττ ∞ −∞ =− ∫ （此式即 ( )tδ 的筛选特性） () ()f ttδ∗null （ 1-64） 即：信号的脉冲分解的极限形式，是信号与冲激函数的卷积。 正交分解： 信号可以用完备正交函数集来表示； 组成信号的各分量相互正交。 正交分解与脉冲分解的极限形式可以通过 Fourier 变换统一。 §1.5 系统分类（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 1.6） 简单／复杂系统： 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 13 — 简单系统：利用传统的简化论与还原论方法（整体等于部分和）可以处 理的系统。比如，线性系统是简单系统。 — 复杂系统：由数量适当（不多也不少）且具有局部非线性 ．．． 作用的个体元 素（ agent）组成，并能够产生整体涌现 ．． 行为的适应性系统。 — 涌现（ emergence） ：个体之间相互作用使整体产生新特征的现象。 连续时间／离散时间／混合系统： — 连续时间系统：若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部信号 也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统。 — 离散时间系统：若系统的输入和输出都是离散时间信号，则称此系统为 离散时间系统。 — 混合系统：离散时间系统和连续时间系统混合运用的系统。 即时／动态系统： — 即时系统（无记忆系统） ：如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励 信号，与它过去的状态（历史）无关，则称此系统为即时系统，亦称为 无记忆系统。 — 动态系统（有记忆系统） ：如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激 励信号，而且与它过去的工作状态有关，则称此系统为动态系统，亦称 为有记忆系统。常见的有记忆元件有：电容、电感、磁芯、寄存器等。 集总参数／分布参数系统： — 集总参数系统：由集总参数元件（在元件的空间区域内各点信号可看作 常数）组成的系统，是集总参数系统。描述集总参数系统的数学模型是 以时间（而非空间）为自变量的微分方程 /差分方程。 — 分布参数系统：含有分布参数元件（在元件的空间区域内各点信号不能 看作常数）的系统，是分布参数系统。 时变 /时不变系统： — 时变系统：如果系统的部分或全部参数随时间变化，则称为时变系统。 — 时不变系统： 如果系统的所有参数都不随时间变化， 则称为时不变系统。 线性 /非线性系统： — 线性系统：具有叠加性与均匀性（也称齐次性）的系统称为线性系统。 — 非线性系统：不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。 确定 /非确定系统： — 确定系统：系统响应随激励信号和系统状态按确定关系变化的系统。 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 14 — 非确定系统：系统响应与激励信号和系统状态之间无确定关系的系统。 如随机系统、模糊系统、混沌系统。 §1.6 线性系统（ 《信号与系统》第二版（郑君里） 1.7） 系统的输入——输出描述： 图 1-17 — 定义（零状态系统） ：初始储能为零的系统称为零状态系统，也称为初 始松弛的系统。 — 定义（冲激响应 () ht） ：输入为单位冲激函数时的零状态响应。 ( ) ( )Tht tδnull （ 1-65） — 因果律： 9 定义（因果系统） ： ( )y t 只与 (]t−∞， 的输入 ( )x t 有关，而与 ()t ∞， 的输入无关，则称该系统为因果系统。 9 初始松弛，因果律 ( ) T( ,]y txt⇔=−∞ ( ) ( ) ( )ht ht ut= （ 1-66） 9 定义（因果信号） ：亦称右边信号 ( ) ( ) ( )f tftut= （ 1-67） 9 定义（逆因果信号） ：亦称左边信号 ( ) ( ) ( )f tftut= − （ 1-68） 9 定义（截取） ： ( )x t 的 τ 截取为 () ( ) ( ) ( ) ( )x t xt xt ut ut ττ τ== −−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ （ 1-69） 9 定义（因果算子 T） ：对零状态算子 T，若 ( ) [ ] TT()x txt τ ττ =⎡⎤ ⎣⎦ ，则 称 T 为因果算子。即：算子映射的截断等于截断后映射的截断。 — 时不变（ Time Invariant—— TI） ：亦称定常。 9 物理上，数理参数时不变。 9 对零状态 T，定常指满足： () ( ) ( ) ( ) 00 TTy txtytt xtt=⇔−=− （ 1-70） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 15 () ( ) ( )T() Tht t ht tδ τδτ=⇔−=− （ 1-71） 9 对零状态 T，时变指满足： ( ) ( )T,thtδ ττ−= （ 1-72） — 线性系统： 9 定义（线性系统） ：零状态 T 是线性系统，若满足： () ( ) ( ) ( ) 11 2 2 1 1 2 2 TTTx txt xt xtαα α α+=+⎡⎤ ⎣⎦ （ 1-73） ⇔ 1) 叠加性： () ( ) ( ) ( ) 12 1 2 TTTx txt xt xt+=+⎡⎤ ⎣⎦ （ 1-74） 2）齐次性（均匀性） ： 。 ( ) ( ) 11 1 1 TTx txtαα=⎡⎤ ⎣⎦ （ 1-75） 9 一般地，由叠加性可得到齐次性，但由齐次性不一定得到叠加性。 9 () 11 T()T NN ii i i x txtαα == ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∑∑ （ 1-76） 信号 ()x t 通过零状态 LTI 系统： — 对线性定常系统，其零状态响应为： () () ( ) () ()dy t x ht xt htτττ ∞ −∞ =−=∗ ∫ （ 1-77） 图 1-18 — 对线性时变系统，其零状态响应为： () () ( )dyt x htτ ττ ∞ −∞ = ∫ ， （ 1-78） — 放大／衰减： ( ) ( ) ht K tδ= （ 1-79） 图 1-19 — 微分： () () () () d p d ht t t t t δδδ′=== （ 1-80） 《信号与系统》讲义 第一章：绪论 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p nn ht t tδδ== （ 1-81） 图 1-20 图 1-21 — 积分： () () ()d t ht t t utδ −∞ == ∫ （ 1-82） 图 1-22