清华大学 信号与系统 课件-第三章:泛函分析初步.pdf
《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 1 第三章:泛函分析初步 §3.1 线性空间 定义(线性空间) :设 W ≠∅( W 为非空集合) ( 1) W 中元对“ +”构成交换群,即对 ,, W∀ ∈XYZ ,有 ⅰ) W+∈XY (加法封闭性) ⅱ) () ( )++=++XY ZX YZ(结合律) ⅲ) W∃∈0 ,使 0+XX= (存在零元) ⅳ) W∃− ∈X ,使 ( )− +=0XX (存在逆元) ⅴ) +=+XYYX(交换律) ( 2) 对 ,,,WCα β∀∈∀∈XY (复数域)有: ⅵ) ()()Wαβ αβ=∈XX ⅶ) ()α βαβ+=+XXX ⅷ) ()α αα+= +XY X Y ⅸ) ⋅1 XX= ,称 W 为线性空间,若 , Cα β∈ ,则 W 为复线性空间,若 , Rα β∈ ,则 W 为实线性空间。 注: 1)加法封闭+数乘封闭 , ii WCα⇔∀∈∀∈X ,有 1 N ii i Wα = ∈ ∑ X 。 2) [ ] C,ab( [ ] ,ab上所有连续函数的全体)是线性空间。 3) { } 12 ,,, n span …XX X 为由 12 ,,, n …XX X张成的线性空间。 定义(线性算子) :线性空间上的算子为 L 线性算子 {} 11 NN ii i i ii αα == ⎧⎫ ⇔= ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ LLXX ( 3-1) 定义:零状态线性系统 ⇔系统算子为线性算子。 §3.2 线性子空间 定义(线性子空间) :设 VW∅≠⊂, V 是 W 的线性子空间 ⇔对 ,,,WCα β∀∈∀∈XY ,有 Vα β ∈+XY。 定义(直和) :设 12 ,,, p WW Wnull 是 W 的子空间,若 W∀ ∈X 对, X 可唯一 表示成 1 p =++nullXX X,其中 ( )1, , i Wi p∈=…X ,则称 W 是 《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 2 12 ,,, p WW Wnull 的直和,记为: 12 p WWW W= ⊕⊕⊕null 。 §3.3 距离空间(度量空间—— Metric Space) 定义(距离空间) :设 W ≠∅,称 W 为距离空间,指在 W 中定义了映射: () ,:WW Rρ + ×→XY (包括 0) , , W∀ ∈XY 满足以下三条公理: ⅰ) () ,0ρ ≥XY ,且 ( ) ,0ρ =⇔XY X Y= (正定性) ⅱ) ()( ),,ρρ=XY YX (可交换性) ⅲ) ()( ) ( ),,,ρρρ≤+XZ XY YZ (三角不等式) () ,ρ XY称为 W 上的距离, ( ) ,W ρ 为度量空间。 定义(收敛) :度量空间 ( ),W ρ 中的点列 {} 1 n n x ∞ = 收敛于 0 x ⇔ 0 x 是 {} 1 n n x ∞ = 的极限 ⇔ () 0 ,0, n xxρ → 当 n→∞ ⇔ 0 lim n n x x →∞ = 定理:在 (),W ρ 中,每个收敛点列有唯一的极限点。 定义(柯西序列—— Cauchy Sequence) :设 {} 1 n n x ∞ = 是 ( ),W ρ 中的点列, 若对 ()0, NNε ε∀ ∃= ,使 ( ),,, nm x xnmNρε,则称 {} 1 n n x ∞ = 是 (),W ρ 中的柯西序列。 注: (),W ρ 中任意收敛序列是柯西序列,但 ( ),W ρ 中的柯西序列未必收 敛到 (),W ρ 中。 定义(完备度量空间—— Complete Metric Space) : ( ),W ρ 称为完备度量 空间,指其中所有柯西序列都收敛。 §3.4 巴拿赫( Banach)空间 1. 赋范线性空间: 定义(赋范线性空间) :设 W ≠∅是线性空间,若对 , W∀ ∈XY , ∃ X 满 足: ⅰ) 0∃≥X ,且 0=⇔ =0XX(正定性) ⅱ) , Cαα α=∀∈XX (正齐性) ⅲ) ≤++XY X Y(三角不等式) 称为 X的范数( Norm) ,定义了范数的线性空间 W 称为赋范线性空间, 记为: ( ) ,W • 。 《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 3 注:度量空间与赋范空间的关系:在 ( ) ,W • 中,定义: (广义)长度的推广: 9 n R , [ ] 12 ,,, T n xx x∀= ∈…X n R 1 1 ,1 n p p i p i xp = ⎧⎫ = ≤ ∑∑ , 因此, q X l∈ , 所以: pq ll⊂ 。 定义(强收敛) :在 () ,W • 中, {} 1 n n x ∞ = 收敛于 x,指: lim 0 n n xx →∞ −=, 也称为依范数收敛( Convergence in Norm) 。 定义(弱收敛) :依泛函收敛。 注:强收敛 ⇒弱收敛。 2. Banach 空间: 定义( Banach 空间) :完备的 ( ) ,W • 称为 Banach 空间。 Holder 不等式:若 () () 11 [,], [,], 1, pq fx Labgx Lab pq ∈ ∈+= 则 ()() () {} () {} () () 11 ddd b bb pq aa a pq f xgx x f x x gx x fx gx ≤ = ∫∫∫ ( 3-13) 定理:若 1 pq≤≤≤∞ ,则 [,] [,] qp Lab Lab⊆ ( 3-14) 证明:当 p=q 时,定理显然成立。 当 1 pqr≤≤∞时,构造 1 pp qr + = ,即 111 rpq = − , 《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 5 对 ( ) [,] q f xLab∀∈ ,依 Holder 不等式有 () () d1d bb pp p aa f xx fx x= ∫∫ ()[]d 1d p p q rq r bb p pp p aa f xx x ⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎪⎪ ≤ ⎨⎬⎨⎬ ⎩⎭ ⎩⎭ ∫∫ () {} d[ ] p p b q q r a f xxba=− ∫ 即: () {} () {} 11 1 d[] d bb pq r aa f xx ba fxx≤− ∫∫ 即: () () () 11 1 () [] [] pq r pq q f xbafxba fx − ≤− =− 因此, () [,] p f xLab∈ , 即 [,] [,] qp Lab Lab⊆ 。 §3.5 Hilbert 空间 1.内积空间: 定义(内积) :设 W ≠∅为实或复线性空间,若对 ,, ,WCλ∀ ∈∈XYZ (数 域) ,均有一个实数或复数与之对应,记为 ,XY,满足: ⅰ) ,0≥XX ,且 ,0= ⇔=0XX X (正定性) ⅱ) * ,,=XY YX (共轭交换性) ⅲ) ,,λλ=XY XY(齐次性) ⅳ) ,,,+= +XYZ XZ YZ(加法分配性) 则称 ,XY为 X与 Y的内积,定义了内积的空间为内积空间。 注: 1. * ,,λλ=XY XY 2. ,:WW C×→XY (实 /复数域) ,若 W 为数的集合,则 ,XY为 通常的二元函数。 3. ⅲ)和ⅳ)可合并: ,,,αβ α β+= +XYZ XZ YZ。 《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 6 例子: 9 { } 12 ,,, n n span= …XX XR , [ ] [ ] 11 ,, , ,, TT nn x xyy==……XY n ∈R , 1 , n T ii i x y = = ∑ XY XY= ( 3-15) 9 n U (约定了内积的复线性空间) , , H =XY XY ( 3-16) , H 表示共轭转置。 9 [ ] C,ab, () () () () * ,d b a x tyt xtytt= ∫ ( 3-17) 9 [] { } 2 ,()|()()d b H n a Lab t t tt= ∞ ∫ XXX ( 3-18) () () []() [] 22 1 () , , , , , , 1, , T nni txt xt LabxtLabi n=∈∈=⎡⎤ ⎣⎦ ……X , () (),()(d b H a tt ttt= ∫ XY XY ( 3-19) 2. Hilbert 空间: 定义(欧氏范数) 1 2 2 ,=XXX,则内积(线性)空间成为赋范线性空 间。 定义( Hilbert 空间) :依欧氏范数 1 2 2 ,=XXX完备的内积空间称为 Hilbert 空间。 Cauchy-Schwarz 不等式: W 为内积空间, , W∀ ∈XY ,有 22 , ≤XY X Y ( 3-20) 证明: 0,,,αα≤− −XXYYXXYY 2** * ,,, ,, ,,ααα=− − +XX XY XY XY XY XY YY 取 2 2 1 α = Y , 有 : 22 2 22 22 2 ,, , 02≤− + =− XY XY XY XX YY Y 《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 7 2 22 22 ,⇔≤XY X Y 22 ,⇔≤XY X Y 说明: 1.在 Holder 不等式中,取 2pq= = ,就成为 Cauchy-Schwarz 不 等式。 2.在 n U 空间中,有 Cauchy 不等式: 。 ()() 11 22 ≤XY XX YY HHH ( 3-21) 3.在 [ ] 2 ,L ab空间中,有 Schwarz 不等式: () () () {} () {} 11 22 * ddd bbb aaa x ty t t xt t yt t≤ ∫∫∫ ( 3-22) 3.线性泛函: 定义(算子—— Operator) : ,X Y 为线性空间,算子: ()T:D T R(T)X Y⊂→ ⊂或 T:X Y→ 。 其中, ()DT为定义域, R(T)为值域。 图 3-1 定义(泛函—— Functional) :值域是实/复数域的算子为泛函。 注:定积分,距离,范数,内积, δ 函数(第三种定义) , (普通)函数 均为泛函。 定义 (线性算子) : ,X Y 为线性空间, T:X Y→ , 若对 , ii X Cα∀ ∈∀∈X , 有: {} 11 TT NN ii i i ii αα == ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ XX ( 3-23) 《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 8 ,则 T 为线性算子。 定义(线性泛函) :线性算子 T 的值域为实/复数集。 注: 1)距离、范数是泛函,但非线性泛函; 2)连续线性算子: T 图 3-2 3)对线性算子:有界 ⇔连续; 4)内积为连续线性泛函; 5)积分算子 [ ] [ ] 22 T: , ,L ab L ab→ , () ( ) ()T,d b a xt ht xτ ττ= ∫ , ( ) [ ] [ ],,,ht ab abτ ×在 上连续。 §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 1.正交—— Orthogonal: 定义(正交) :在内积空间 W 中,若 , ij W∈XX ,满足: , ij ij kδ=XX , 则称 i X 与 j X 正交,记为: ij ⊥XX。其中 k 为常数, ij δ Kronecker 符号, 1, 0, ij ij ij δ = ⎧ ⎨ ≠ ⎩ = ( 3-24) 定义(正交(子)集) : VW⊂ 中任意两个元正交。 定义(集正交) :若 ,X YW⊂ ,对 ,X Y∀ ∈∀∈XY,有 ⊥XY,则称集 X 与集 Y 正交,记为: X Y⊥ 。 定义 (正交补) : VW⊂ , V 的正交补 { }|VWV ⊥ =∈ ⊥XX, 显然: VV ⊥ ⊥ 。 定义(规范正交完备集 V ) : 1) { }0V ⊥ = (完备性) ; 2) ,,, ij ij ij V δ∀∈ =XX XX (规范正交) 。 定理: Hilbert 空间存在规范正交完备集。 《信号与系统》 第三章:泛函分析初步 9 定理: W 是 Hilbert 空间, WVV ⊥ =⊕ , V 是 W 的正交子集。 2.正交投影—— Orthogonal Projection: 定义 (正交投影) : W 是 Hilbert 空间, VW⊂ , W∈X , 若 0 ,VV∃∈∃⊥εY , 使 0 XY=+ε ,则称 0 Y 是 X在 V 上的正交投影或投影,记为: 0 P V =YX。 注: 0 Y 与 X的距离最小,即正交投影使均方误差最小化。 图 3-3 3.广义傅里叶展开: 定义:设 {} 1 i i V φ ∞ = = 是 Hilbert 空间 W 的规范正交完备集,则对 X W∀∈ , 有 11 , ii i i ii Xc Xφ φφ ∞∞ == ∑∑ , , ii cXφnull 为广义傅里叶系数。 注: {} 1 i i V φ ∞ = = 是 Hilbert 空间 W 的规范且完备的一组基。 i c 是 X 在 i φ 上的 投影。 Parseval 等式:设 11 , ii i i ii Xc Xφ φφ ∞∞ == ∑∑ ,则 2 22 2 11 , ii ii X Xcφ ∞∞ == ∑ ∑ ( 3-25) 注:物理解释:信号的总能量=各个分量的能量的和。 几何解释:广义勾股定理。 用 N 项广义傅里叶展开逼近 X : 设 {} 1 i i V φ ∞ = = 是 Hilbert 空间 W 的规范正交完备集, {} {} {} 11 1 N iii NN N VVVφφφ ∞∞ ⊥ ===+ ==+ ⊕null , X 在 N V 上的投影: 1 ˆ , N ii i XXφ φ = = ∑ 。这里 N V 规范正交,但不完备。