清华大学 信号与系统 课件-第三章：泛函分析初步.pdf

《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 1 第三章：泛函分析初步 §3.1 线性空间 定义（线性空间） ：设 W ≠∅（ W 为非空集合） （ 1） W 中元对“ +”构成交换群，即对 ,, W∀ ∈XYZ ，有 ⅰ） W+∈XY （加法封闭性） ⅱ） () ( )++=++XY ZX YZ（结合律） ⅲ） W∃∈0 ，使 0+XX= （存在零元） ⅳ） W∃− ∈X ，使 ( )− +=0XX （存在逆元） ⅴ） +=+XYYX（交换律） （ 2） 对 ,,,WCα β∀∈∀∈XY (复数域)有： ⅵ） ()()Wαβ αβ=∈XX ⅶ） ()α βαβ+=+XXX ⅷ） ()α αα+= +XY X Y ⅸ） ⋅1 XX= ，称 W 为线性空间，若 , Cα β∈ ，则 W 为复线性空间，若 , Rα β∈ ，则 W 为实线性空间。 注： 1）加法封闭＋数乘封闭 , ii WCα⇔∀∈∀∈X ，有 1 N ii i Wα = ∈ ∑ X 。 2） [ ] C,ab（ [ ] ,ab上所有连续函数的全体）是线性空间。 3） { } 12 ,,, n span …XX X 为由 12 ,,, n …XX X张成的线性空间。 定义（线性算子） ：线性空间上的算子为 L 线性算子 {} 11 NN ii i i ii αα == ⎧⎫ ⇔= ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ LLXX （ 3-1） 定义：零状态线性系统 ⇔系统算子为线性算子。 §3.2 线性子空间 定义（线性子空间） ：设 VW∅≠⊂， V 是 W 的线性子空间 ⇔对 ,,,WCα β∀∈∀∈XY ，有 Vα β ∈+XY。 定义（直和） ：设 12 ,,, p WW Wnull 是 W 的子空间，若 W∀ ∈X 对， X 可唯一 表示成 1 p =++nullXX X，其中 ( )1, , i Wi p∈=…X ，则称 W 是 《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 2 12 ,,, p WW Wnull 的直和，记为： 12 p WWW W= ⊕⊕⊕null 。 §3.3 距离空间（度量空间—— Metric Space） 定义（距离空间） ：设 W ≠∅，称 W 为距离空间，指在 W 中定义了映射： () ,:WW Rρ + ×→XY （包括 0） ， , W∀ ∈XY 满足以下三条公理： ⅰ） () ,0ρ ≥XY ，且 ( ) ,0ρ =⇔XY X Y= （正定性） ⅱ） ()( ),,ρρ=XY YX （可交换性） ⅲ） ()( ) ( ),,,ρρρ≤+XZ XY YZ （三角不等式） () ,ρ XY称为 W 上的距离， ( ) ,W ρ 为度量空间。 定义（收敛） ：度量空间 ( ),W ρ 中的点列 {} 1 n n x ∞ = 收敛于 0 x ⇔ 0 x 是 {} 1 n n x ∞ = 的极限 ⇔ () 0 ,0, n xxρ → 当 n→∞ ⇔ 0 lim n n x x →∞ = 定理：在 (),W ρ 中，每个收敛点列有唯一的极限点。 定义（柯西序列—— Cauchy Sequence） ：设 {} 1 n n x ∞ = 是 ( ),W ρ 中的点列， 若对 ()0, NNε ε∀ ∃= ，使 ( ),,, nm x xnmNρε，则称 {} 1 n n x ∞ = 是 (),W ρ 中的柯西序列。 注： (),W ρ 中任意收敛序列是柯西序列，但 ( ),W ρ 中的柯西序列未必收 敛到 (),W ρ 中。 定义（完备度量空间—— Complete Metric Space） ： ( ),W ρ 称为完备度量 空间，指其中所有柯西序列都收敛。 §3.4 巴拿赫（ Banach）空间 1. 赋范线性空间： 定义（赋范线性空间） ：设 W ≠∅是线性空间，若对 , W∀ ∈XY ， ∃ X 满 足： ⅰ） 0∃≥X ，且 0=⇔ =0XX（正定性） ⅱ） , Cαα α=∀∈XX （正齐性） ⅲ） ≤++XY X Y（三角不等式） 称为 X的范数（ Norm） ，定义了范数的线性空间 W 称为赋范线性空间， 记为： ( ) ,W • 。 《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 3 注：度量空间与赋范空间的关系：在 ( ) ,W • 中，定义： （广义）长度的推广： 9 n R ， [ ] 12 ,,, T n xx x∀= ∈…X n R 1 1 ,1 n p p i p i xp = ⎧⎫ = ≤ ∑∑ ， 因此， q X l∈ ， 所以： pq ll⊂ 。 定义（强收敛） ：在 () ,W • 中， {} 1 n n x ∞ = 收敛于 x，指： lim 0 n n xx →∞ −=， 也称为依范数收敛（ Convergence in Norm） 。 定义（弱收敛） ：依泛函收敛。 注：强收敛 ⇒弱收敛。 2. Banach 空间： 定义（ Banach 空间） ：完备的 ( ) ,W • 称为 Banach 空间。 Holder 不等式：若 () () 11 [,], [,], 1, pq fx Labgx Lab pq ∈ ∈+= 则 ()() () {} () {} () () 11 ddd b bb pq aa a pq f xgx x f x x gx x fx gx ≤ = ∫∫∫ （ 3-13） 定理：若 1 pq≤≤≤∞ ，则 [,] [,] qp Lab Lab⊆ （ 3-14） 证明：当 p=q 时，定理显然成立。 当 1 pqr≤≤∞时，构造 1 pp qr + = ，即 111 rpq = − ， 《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 5 对 ( ) [,] q f xLab∀∈ ，依 Holder 不等式有 () () d1d bb pp p aa f xx fx x= ∫∫ ()[]d 1d p p q rq r bb p pp p aa f xx x ⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎪⎪ ≤ ⎨⎬⎨⎬ ⎩⎭ ⎩⎭ ∫∫ () {} d[ ] p p b q q r a f xxba=− ∫ 即： () {} () {} 11 1 d[] d bb pq r aa f xx ba fxx≤− ∫∫ 即： () () () 11 1 () [] [] pq r pq q f xbafxba fx − ≤− =− 因此， () [,] p f xLab∈ ， 即 [,] [,] qp Lab Lab⊆ 。 §3.5 Hilbert 空间 1.内积空间： 定义（内积） ：设 W ≠∅为实或复线性空间，若对 ,, ,WCλ∀ ∈∈XYZ （数 域） ，均有一个实数或复数与之对应，记为 ,XY，满足： ⅰ） ,0≥XX ，且 ,0= ⇔=0XX X （正定性） ⅱ） * ,,=XY YX （共轭交换性） ⅲ） ,,λλ=XY XY（齐次性） ⅳ） ,,,+= +XYZ XZ YZ（加法分配性） 则称 ,XY为 X与 Y的内积，定义了内积的空间为内积空间。 注： 1. * ,,λλ=XY XY 2. ,:WW C×→XY （实 /复数域） ，若 W 为数的集合，则 ,XY为 通常的二元函数。 3. ⅲ）和ⅳ）可合并： ,,,αβ α β+= +XYZ XZ YZ。 《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 6 例子： 9 { } 12 ,,, n n span= …XX XR ， [ ] [ ] 11 ,, , ,, TT nn x xyy==……XY n ∈R ， 1 , n T ii i x y = = ∑ XY XY= （ 3-15） 9 n U （约定了内积的复线性空间） ， , H =XY XY （ 3-16） ， H 表示共轭转置。 9 [ ] C,ab， () () () () * ,d b a x tyt xtytt= ∫ （ 3-17） 9 [] { } 2 ,()|()()d b H n a Lab t t tt= ∞ ∫ XXX （ 3-18） () () []() [] 22 1 () , , , , , , 1, , T nni txt xt LabxtLabi n=∈∈=⎡⎤ ⎣⎦ ……X ， () (),()(d b H a tt ttt= ∫ XY XY （ 3-19） 2. Hilbert 空间： 定义（欧氏范数） 1 2 2 ,=XXX，则内积（线性）空间成为赋范线性空 间。 定义（ Hilbert 空间） ：依欧氏范数 1 2 2 ,=XXX完备的内积空间称为 Hilbert 空间。 Cauchy-Schwarz 不等式： W 为内积空间， , W∀ ∈XY ，有 22 , ≤XY X Y （ 3-20） 证明： 0,,,αα≤− −XXYYXXYY 2** * ,,, ,, ,,ααα=− − +XX XY XY XY XY XY YY 取 2 2 1 α = Y ， 有 ： 22 2 22 22 2 ,, , 02≤− + =− XY XY XY XX YY Y 《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 7 2 22 22 ,⇔≤XY X Y 22 ,⇔≤XY X Y 说明： 1.在 Holder 不等式中，取 2pq= = ，就成为 Cauchy-Schwarz 不 等式。 2.在 n U 空间中，有 Cauchy 不等式： 。 ()() 11 22 ≤XY XX YY HHH （ 3-21） 3.在 [ ] 2 ,L ab空间中，有 Schwarz 不等式： () () () {} () {} 11 22 * ddd bbb aaa x ty t t xt t yt t≤ ∫∫∫ （ 3-22） 3.线性泛函： 定义（算子—— Operator） ： ,X Y 为线性空间，算子： ()T:D T R(T)X Y⊂→ ⊂或 T:X Y→ 。 其中， ()DT为定义域， R(T)为值域。 图 3-1 定义（泛函—— Functional） ：值域是实／复数域的算子为泛函。 注：定积分，距离，范数，内积， δ 函数（第三种定义） ， （普通）函数 均为泛函。 定义 （线性算子） ： ,X Y 为线性空间， T:X Y→ ， 若对 , ii X Cα∀ ∈∀∈X ， 有： {} 11 TT NN ii i i ii αα == ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ XX （ 3-23） 《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 8 ，则 T 为线性算子。 定义（线性泛函） ：线性算子 T 的值域为实／复数集。 注： 1）距离、范数是泛函，但非线性泛函； 2）连续线性算子： T 图 3-2 3）对线性算子：有界 ⇔连续； 4）内积为连续线性泛函； 5）积分算子 [ ] [ ] 22 T: , ,L ab L ab→ ， () ( ) ()T,d b a xt ht xτ ττ= ∫ ， ( ) [ ] [ ],,,ht ab abτ ×在 上连续。 §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 1.正交—— Orthogonal： 定义（正交） ：在内积空间 W 中，若 , ij W∈XX ，满足： , ij ij kδ=XX ， 则称 i X 与 j X 正交，记为： ij ⊥XX。其中 k 为常数， ij δ Kronecker 符号， 1, 0, ij ij ij δ = ⎧ ⎨ ≠ ⎩ = （ 3-24） 定义（正交（子）集） ： VW⊂ 中任意两个元正交。 定义（集正交） ：若 ,X YW⊂ ，对 ,X Y∀ ∈∀∈XY，有 ⊥XY，则称集 X 与集 Y 正交，记为： X Y⊥ 。 定义 （正交补） ： VW⊂ ， V 的正交补 { }|VWV ⊥ =∈ ⊥XX， 显然： VV ⊥ ⊥ 。 定义（规范正交完备集 V ） ： 1） { }0V ⊥ = （完备性） ； 2） ,,, ij ij ij V δ∀∈ =XX XX （规范正交） 。 定理： Hilbert 空间存在规范正交完备集。 《信号与系统》 第三章：泛函分析初步 9 定理： W 是 Hilbert 空间， WVV ⊥ =⊕ ， V 是 W 的正交子集。 2．正交投影—— Orthogonal Projection： 定义 （正交投影） ： W 是 Hilbert 空间， VW⊂ ， W∈X ， 若 0 ,VV∃∈∃⊥εY ， 使 0 XY=+ε ，则称 0 Y 是 X在 V 上的正交投影或投影，记为： 0 P V =YX。 注： 0 Y 与 X的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。 图 3-3 3.广义傅里叶展开： 定义：设 {} 1 i i V φ ∞ = = 是 Hilbert 空间 W 的规范正交完备集，则对 X W∀∈ ， 有 11 , ii i i ii Xc Xφ φφ ∞∞ == ∑∑ ， , ii cXφnull 为广义傅里叶系数。 注： {} 1 i i V φ ∞ = = 是 Hilbert 空间 W 的规范且完备的一组基。 i c 是 X 在 i φ 上的 投影。 Parseval 等式：设 11 , ii i i ii Xc Xφ φφ ∞∞ == ∑∑ ，则 2 22 2 11 , ii ii X Xcφ ∞∞ == ∑ ∑ （ 3-25） 注：物理解释：信号的总能量＝各个分量的能量的和。 几何解释：广义勾股定理。 用 N 项广义傅里叶展开逼近 X ： 设 {} 1 i i V φ ∞ = = 是 Hilbert 空间 W 的规范正交完备集， {} {} {} 11 1 N iii NN N VVVφφφ ∞∞ ⊥ ===+ ==+ ⊕null ， X 在 N V 上的投影： 1 ˆ , N ii i XXφ φ = = ∑ 。这里 N V 规范正交，但不完备。