上海交大 自动控制原理 课件 2-1数学模型h.ppt

1,第二章 控制系统的数学模型,数学模型是用数学工具来描述系统的运动过程。例如描述刚体运动可以有 本章介绍如下几种系统模型 解析模型： 微分方程 传递函数 频率特性 图 模 型： 方块图 信号流程图,2,2.1 控制系统的时域数学模型——微分方程,定义：用微分方程来描述系统的运动规律，得到的输入和输出之间的公式。 由于微分是针对时间t的，因此又称为时域模型。 描述线性系统的微分方程是线性微分方程。,其中，系数 (i=0,1,2,…n; j=0,1,2…m) 均为实数，它们是由系统本身的结构参数所决定的，与输入输出无关。,3,例 建立RC电路运动方程。 r(t)——输入量（电压） c(t)——输出量（电压） （RC=T）,2.1 控制系统的时域数学模型——微分方程,由于很多物理规律是用微分方程描述的，因此微分方程描述是系统最基本的描述。,4,传递函数是经典控制最基本，最重要的概念之一。 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数： 那么：C(s)=G(s) R(s)。 利用传递函数，输入和输出之间存在简单的乘积关系。,,2.2控制系统的复域数学模型——传递函数,5,如果系统微分方程为： 对上式两边进行拉氏变换：,,,,,可以得到 控制系统传递函数的分式表达:,6,,,a. 表示成典型环节形式：,,,——系统的稳态增益；,其中， 称为时间常数，当存在复数时间常数时，常化成二次形式：,7,——系统的零点；,零极点可以是复数或实数，复数必定是成对（共轭）出现。,,——增益因子。,b. 表示成零、极点形式：,8,1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 有特性的描述。 2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。 3) 传递函数大都是复变量s的有理真分式函数，即mn。 （ m 、n分别为分子、分母多项式的次数。） 4) 若输入为单位脉冲函数，即R(s)=L[r(t)]=1，则,这意味着传递函数是单位脉冲函数的拉氏变换。这个事实也说明了传递函数与输入无关，而有系统特征唯一确定。,关于传递函数的几点说明：,5) 闭环系统传递函数G(s)的分母称为系统的特征多项式，对应的方程称为特征方程。,9,2.3 控制系统的频域数学模型——频率特性,系统传递函数中的,用,得到的 称为,代替,,系统的频率特性。,,传递函数:,频率特性:,10,例 建立RC电路运动方程。 r(t)——输入量 c(t)——输出量 时域 ： ( RC=T ) —— 微分方程 复域: —————— 传递函数 频域: —— 频率特性,11,二 . “三域”数学模型及其相互关系,12,2-1 数学模型,微分方程、传递函数和频率特性分别是系统在 时间域、复数域和频率域中的数学模型。人们在研 究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特 点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型 进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统 的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性 求解、分析系统的方法称为工程分析法。 一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方 便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原 因。,13,特 点： 输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 运动方程: c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。 传递函数： 频率特性：,由于传递函数可以分解成因子的乘积，实数范围内的因子最多为两次，这些因子称为典型因子，相对的系统称为典型环节。,1.比例环节（又叫放大环节）,2.4 典型环节的数学模型,14,例1： 输入：(t)——角度 E——恒定电压 输出：u(t)——电压,运动方程： u(t)=K(t) 传递函数： K——比例系数，量纲为伏/弧度。 频率特性： G（j）=K,15,例 2：输入：n1(t)——转速 Z1——主动轮的齿数 输出：n2(t)——转速 Z2——从动轮的齿数,运动方程： 传递函数： 频率特性：,16,,其它一些比例环节,17,2、微分环节,特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 运动方程： 传递函数： 频率特性：,18,例1 RC电路 设：输入——电压ur(t) 输出——电流ic(t) 于是得到： 运动方程： 传递函数： 频率特性：G（j）=jC,注意：同一个系统输入输出的物理量不同会有不同的传递函数！,19,例 2：测速发电机CF的数学描述,输 入： (t)——电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角 输 出： uf(t)——测速发电机的电枢电压 运动方程： 传递函数： G（s）=Ks 频率特性： G（j）=jK,,20,,3、积分环节,特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。 运动方程： 传递函数： 频率特性：,21,例：如右电路,运动方程： 传递函数： （T=R1C） 频率特性：,,输入为r(t)，输出为c(t),22,其它积分环节举例,23,4、惯性环节(又叫非周期环节),特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。 运动方程： 传递函数： 频率特性：,24,例1：直流电机,输入量: ud ——电枢电压 输出量： id ——电枢电流 因为 运动方程： 传递函数: 式中 Ld ——电枢回路电感； Rd ——电枢回路电阻； τd ——电枢绕组的时间常数；,25,其他一些惯性环节例子,26,5、振荡环节,特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 运动方程： 传递函数： 式中：——阻尼比， T——振荡环节的时间常数。 频率特性：,27,例1：RLC电路,解： 消去中间变量i(t)得到运动方程： 传递函数： 频率特性：,28,ea(t)--- 输入量为加在电枢两端 (t) ---输出量为电机轴的角位移; R------电枢绕组的电阻； L------电枢绕组电感； i(t)----电枢绕组中的电流； eb(t)-- 电动机的反电势； T(t)---电动机产生的转矩； J------电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量； B------电动机和负载折合到电动机转轴上的粘性摩擦系数。,,,例2 电枢控制式直流侍服电机,29,,1） T(t)= Kt i(t) T(t)—转矩 Kt—力矩系数 2） eb(t)—反电势 Kb—反电势常数 3） ea(t)——电枢两端的电压 4） 分别进行拉氏变换 1） T ( s ) = Kt I ( s ) 2） Eb( s ) = Kb s  ( s ) 3） Ea( s ) = ( L s + R ) I ( s ) + Eb( s ) 4） T( s ) = ( J s2 + B s )  ( s ),30,消去中间变量Eb(s)、T(s)和I(s),如果输入量Ea(s)，输出量转速(s)，则又可得到： 这是一个典型的振荡环节的传递函数 频率特性：,31,电枢回路中的电感L通常较小，若忽略L的影响，则：,式中：km=Kt/(RB+KtKb) ——电动机增益常数 Tm=RJ/(RB+KtKb) ——电动机时间常数。 如果J、R比较小， Tm趋近于零，又可简化为：,,32,例3：机械装置,输入----------力 ： f(t)， 输出----------位移： x(t) 微分方程: 式中：K——弹簧弹性系数； M——物体的质量， B——粘性摩擦系数。 传递函数：,33,6、一阶微分环节,特 点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关， 而且与输入量的变化率有关 运动方程： 传递函数： G( s ) = Ts + 1 频率特性： G( j ) = j T + 1,34,RC电路,输入：u(t)，输出：i(t) ，则 传递函数： （R=1 RC= ） 频率特性： 一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。,35,7、二阶微分环节,特 点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关 运动方程： 传递函数： 频率特性： 可以看出，二阶微分环节的传递函数和频率特性是 振荡环节的倒数。,36,8。延迟环节,输入ur(t)，输出uc(t)= ur(t-τ) 传递函数 频率特性,延迟环节表现为信号的滞后，它传递函数为指数函数，频率特性的模恒等于1。,37,小结,（1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传 递函数。 例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统， 另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。 （2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量 时，就可能得到不同形式的传递函数。 例如：电容：输入—电流，输出—电压，则是积分环节。 反之，输入—电压，输出—电流，则为微分环节。,38,本章（一）小结,传递函数、频率特性的定义 典型环节的传递函数和频率特性 一些重要对象的传递函数,