2016年 电子科技大学 科目857 考研真题.pdf

第 1 页 共 4 页 电子科技大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 857 概率论与数理统计 注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。 一、 填空题（每题 3 分，共 15分） 1、 任取一正整数，该数的平方的末位数是 1 的概率是 __________. 2、 设随机变量 1 2 3,,X X X 相互独立，其中 1X 在区间 [0,6]上服从均匀分布， 2X 服从正态分 布 2(0,2 )N ， 3X 服从参数为 3 的泊松分布，记 1 2 323Y X X X  ,则 D（ Y） =___________. 3、 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且 Y＝ 3X－ 2，则 E（ 3Y＋ 2） =__________. 4、 设 随机变量 ,XY相 互独 立且 都服从 正态 分布 2(0,3)N ，而 1 2 9, , ,X X X 和 1 2 9, , ,Y Y Y 为分别来自总体 X和 Y的简单随机样本， 则统计量 1 2 9 2 2 21 2 9 X X XU Y Y Y       服从 ， 参数为 . 5、 假设一批产品中一，二，三等品各占 60%， 30%， 10%，从中随意取出一件，结果不是三 等品，则取得的是一等品的概率为 . 二、 单项选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（ ） (A) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B   (B) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B   (C) ( ) ( )P C P AB (D) ( ) ( )P C P A B 2 、 设 随 机 变 量 ,XY均 服 从 正 态 分 布 ， 2( ,4 )XN ， 2( ,5 )YN ，记 1 { 4}p P X   ， 2 { 5}p P Y   ，则（ ） 第 2 页 共 4 页 (A)对任何实数  ，都有 12pp （ B） 对任何实数  ，都有 12pp (C) 只对  的个别值 ，才有 12pp （ D） 对任何实数  ，都有 12pp . 3、 如果 ,满足 ( ) ( )DD     ，则必有 ( ) (A)  与  独立 (B)  与  不相关 (C) 0D (D) 0DD 4、 若 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 ( ) (A) X+Y 服从正态分布 (B) 22XY 服从 2 分布 (C) 2X 和 2Y 都服从 2 分布 (D) 22/XY服从 F 分布 5、设 12,,XX 为独立同分布序列，且 ( 1,2, )iXi  均服从参数为 4 的指数分布，当 n 比 较大时， 1 1 n i i Xn  近似服从 ( ). (A) 4(4, )N n (B) 11( , )4 16N n (C) 11( , )4 16N (D) (4, )16nN 三、 简答题（每题 10 分，共 30 分） 1、 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球，由甲 袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取得白球的概率。 2、 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作 的 时间（ EX）为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。 试求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布函数 F(y). 3、 已知随机变量 （ X,Y） 服从二维正态分布，并且 X 和 Y 分别服从 正态分布 2(1,3)N 和 2(0,4 )N ， X 和 Y 的相关系数 12xy  。设 32XYZ ，求（ 1） X 与 Z 的相关系数 xz ， 第 3 页 共 4 页 （ 2）问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？ 四、 计算与证明题（每题 15 分，共 90 分） 1、 设二维连续型随机变量 （ X， Y） 的联合分布函数为： ( , ) ( a r c ta n ) ( a r c ta n ) ,23xyF x y A B C   （ 1） 求 系数 A， B， C 及 （ X， Y） 的联合概率密度 ； （ 2） 求 X， Y 的边际分布函数及边际概率密度 。 2、 设参加 考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩 为 66.5 分，标准差为 15 分。问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的 平均成绩为 70 分？并给出检验过程。 { ( ) ( )}pP t n t n p 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 3、 设 二 维随 机变量（ X,Y）的 联合 概率密度函数为 1 , 1 , 1 ( , ) 4 0, xy xy f x y      其 他 证明 X,Y,不相互独立 ，但 2X 和 2Y 相互独立 . 4、 设 12,,XX 是一列两两不相关的随机变量 ， 又设它们的方差有界，即存在正 数 C，使得 ( ) , 1, 2 , ,iD X C i  试证明 ：对任意的 0 有 11 11l im { ( ) } 0nnii n iiP X E Xnn     . 5、 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 n ()ptn p 第 4 页 共 4 页 120.3 0.7X  ， 而 Y 的概率密度为 ()fy，求随机变量 U＝ X＋ Y 的概率密度 ()gu 。 6、 设 12, , , nX X X 为来自总体 ),( 2N 的简单随机样本，记 22 2 2 11 1 1 1, ( ) ,1nnii iiX X S X X T X Sn n n     （ 1）证明 T 是 2 的无偏估计量。 （ 2）当 0, 1时，求 D（ T）。