2016年 电子科技大学 科目857 考研真题.pdf
第 1 页 共 4 页 电子科技大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 857 概率论与数理统计 注:所有答案必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上均无效。 一、 填空题(每题 3 分,共 15分) 1、 任取一正整数,该数的平方的末位数是 1 的概率是 __________. 2、 设随机变量 1 2 3,,X X X 相互独立,其中 1X 在区间 [0,6]上服从均匀分布, 2X 服从正态分 布 2(0,2 )N , 3X 服从参数为 3 的泊松分布,记 1 2 323Y X X X ,则 D( Y) =___________. 3、 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,且 Y= 3X- 2,则 E( 3Y+ 2) =__________. 4、 设 随机变量 ,XY相 互独 立且 都服从 正态 分布 2(0,3)N ,而 1 2 9, , ,X X X 和 1 2 9, , ,Y Y Y 为分别来自总体 X和 Y的简单随机样本, 则统计量 1 2 9 2 2 21 2 9 X X XU Y Y Y 服从 , 参数为 . 5、 假设一批产品中一,二,三等品各占 60%, 30%, 10%,从中随意取出一件,结果不是三 等品,则取得的是一等品的概率为 . 二、 单项选择题(每题 3 分,共 15 分) 1、 设当事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 必发生,则( ) (A) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B (B) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B (C) ( ) ( )P C P AB (D) ( ) ( )P C P A B 2 、 设 随 机 变 量 ,XY均 服 从 正 态 分 布 , 2( ,4 )XN , 2( ,5 )YN ,记 1 { 4}p P X , 2 { 5}p P Y ,则( ) 第 2 页 共 4 页 (A)对任何实数 ,都有 12pp ( B) 对任何实数 ,都有 12pp (C) 只对 的个别值 ,才有 12pp ( D) 对任何实数 ,都有 12pp . 3、 如果 ,满足 ( ) ( )DD ,则必有 ( ) (A) 与 独立 (B) 与 不相关 (C) 0D (D) 0DD 4、 若 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布,则 ( ) (A) X+Y 服从正态分布 (B) 22XY 服从 2 分布 (C) 2X 和 2Y 都服从 2 分布 (D) 22/XY服从 F 分布 5、设 12,,XX 为独立同分布序列,且 ( 1,2, )iXi 均服从参数为 4 的指数分布,当 n 比 较大时, 1 1 n i i Xn 近似服从 ( ). (A) 4(4, )N n (B) 11( , )4 16N n (C) 11( , )4 16N (D) (4, )16nN 三、 简答题(每题 10 分,共 30 分) 1、 有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球,由甲 袋中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取得白球的概率。 2、 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布,平均无故障工作 的 时间( EX)为 5 小时。设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。 试求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布函数 F(y). 3、 已知随机变量 ( X,Y) 服从二维正态分布,并且 X 和 Y 分别服从 正态分布 2(1,3)N 和 2(0,4 )N , X 和 Y 的相关系数 12xy 。设 32XYZ ,求( 1) X 与 Z 的相关系数 xz , 第 3 页 共 4 页 ( 2)问 X 与 Z 是否相互独立?为什么? 四、 计算与证明题(每题 15 分,共 90 分) 1、 设二维连续型随机变量 ( X, Y) 的联合分布函数为: ( , ) ( a r c ta n ) ( a r c ta n ) ,23xyF x y A B C ( 1) 求 系数 A, B, C 及 ( X, Y) 的联合概率密度 ; ( 2) 求 X, Y 的边际分布函数及边际概率密度 。 2、 设参加 考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取 36 位考生的成绩,算得平均成绩 为 66.5 分,标准差为 15 分。问在显著性水平 0.05 下,是否可以认为这次考试全体考生的 平均成绩为 70 分?并给出检验过程。 { ( ) ( )}pP t n t n p 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 3、 设 二 维随 机变量( X,Y)的 联合 概率密度函数为 1 , 1 , 1 ( , ) 4 0, xy xy f x y 其 他 证明 X,Y,不相互独立 ,但 2X 和 2Y 相互独立 . 4、 设 12,,XX 是一列两两不相关的随机变量 , 又设它们的方差有界,即存在正 数 C,使得 ( ) , 1, 2 , ,iD X C i 试证明 :对任意的 0 有 11 11l im { ( ) } 0nnii n iiP X E Xnn . 5、 设随机变量 X 与 Y 独立,其中 X 的概率分布为 n ()ptn p 第 4 页 共 4 页 120.3 0.7X , 而 Y 的概率密度为 ()fy,求随机变量 U= X+ Y 的概率密度 ()gu 。 6、 设 12, , , nX X X 为来自总体 ),( 2N 的简单随机样本,记 22 2 2 11 1 1 1, ( ) ,1nnii iiX X S X X T X Sn n n ( 1)证明 T 是 2 的无偏估计量。 ( 2)当 0, 1时,求 D( T)。