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清华大学 信号与系统 课件-第五章:拉普拉斯变换.pdf

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清华大学 信号与系统 课件-第五章:拉普拉斯变换.pdf

信号与系统 第五章拉普拉斯变换 1 第五章拉普拉斯变换 5.1 定义、存在性( 信号与系统第二版(郑君里) 4.2) 信号 f t 的傅里叶变换存在要求 [ ] 1 L,ft∈ −∞ ∞ ,但 1 sgn Lt ∉ , { } { } 0 sgn lim , 0 t tef σ σ σ − → FF 。考虑是否可以将 t e σ− 纳入积分核 对因果信号 f tftut , { } j-j 00 dd tttt eft fte e t fte t σωσσω ∞ ∞ −−− ⎡⎤ ⎣⎦∫∫ F {} 0 d st f te t ft ∞ − ∫ L ( 5-1) 定义信号 f t 的(单边)拉普拉斯变换为 {} 0 d, j st Fs ft fte ts σ ω ∞ − ∫ nullnullL ( 5-2) j j 0 1 dd 2 ttt fte fte te σωσω ω π ∞ ∞ −− −∞ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ 令 js σ ω , σ 为常数, djds ω j j j 1 d 2j t f tFses σ σω σ π ∞ −∞ ∫ {} j 1 j 1 d 2j st f tFs Fses σ σ π ∞ − −∞ ∫ nullnullL ( 5-3) ( 4-2) 式和 ( 4-3) 式是一对拉普拉斯变换式, f t 称为原函数, Fs 称为像函数。 定义(指数阶函数) 指 f t 分段连续(存在有限个第一类间断点) ,且 0, 0MT∃ ,使 0 t f tMe σ ≤ ,对 tT∀ 。 注 0 O t f te σ 。 Fs存在 Fs 00 ddd T st st st T Fs fte t fte t fte t ∞ ∞ −−− ∫∫∫ 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 2 0 dd T st st T f te t fte t ∞ −− ≤ ∫∫ 0 dd T tt T f te t fte t σσ ∞ −− ≤ ∫∫ 0 0 0 0 d t M AM e t A σσ σσ σ σ ∞ −− ≤ − ∫ 注 1) 23 ,,, 0 tt ee t≥null 为非指数阶信号。 2) t pte α 为指数阶信号,其中 pt 为多项式。 3) 0 σ 为收敛坐标,过 0 σ 垂直于 σ 轴的垂线为收敛轴, 0 σ σ 收敛域 (已知收敛域) 。 图 5-1 例 f tut 0 0 1, 1, 0, 0, 0 t ut e M T σσ≤i 收敛 {} 0 0 0 1 d| st st e ut e t ss σ − ∞ −∞ − ∫ L ( 5-4) 例 {} 0 0 1 d| st ttst e eee ss α σα αα αα − − ∞ −−− ∞ − ∫ L ( 5-5) 例 {} {} 1 0 d nnst n n tte t s ∞ −− ∫ LL ( 5-6) {} 1 ut s L {} 2 1 tu t s L ( 5-7) {} 1 n n n tut s L ( 5-8) 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 3 积分下限当 f t 在 0t 处第一类间断, {} 0 d st Fs ft fte t ∞ − ∫ L 0 d st f te t ∞ − ∫ 0 d st f te t ∞ − − ∫ ( 5-9) 注 0 | t f ttδ ′ , 0 | t f ttδ ′′ ′ ,解微分方程的初(边)值问题。 5.2 性质( 信号与系统第二版(郑君里) 4.3) 代数性质 9 线性 {} 11 nn ii i i f tftαα ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ LL ( 5-10) 9 卷积 { } 12 12 f tft FsFs∗L ( 5-11) 图 5-2 9 像卷积( s 域卷积) {} 12 1 2 j 12 -j 1 2j 1 d 2j ftft Fs Fs FzFsz z σ σ π π ∞ ∞ ∗ − ∫ L ( 5-12) 2 f t 1 f t 12 f tft⋅ 图 5-3 拓扑性质(微 /积分性质) 9 微分 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 4 {} d 00 d ft s ft f sFs f t − − ⎧⎫ −− ⎨⎬ ⎩⎭ LL ( 5-13) 证明 0 d d d st f tftet t ∞ − − ⎧⎫ ′ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ L 0 0 |d0 st st fte s fte t sFs f − ∞ −∞ − − − − − ∫ 注 1)对因果信号 00f − , {} d p,p d ft sFs t nullL , p js ω pf tsFs⇔ 2) d 0 d ft sFs f t ⎧⎫ − ⎨⎬ ⎩⎭ L ( 5-14) 3) { } { } 2 ppf tft′LL 00ssFs f f − − ′−⎡⎤ ⎣⎦ 2 00sFs sf f − − ′− ( 5-15) 特别 1 00,00,, 00 n ff f − −− − ′ null p nn f tsFs⇔ ( 5-16) 9 积分 { } t 1 - 111 d0 p fftFsf ss ττ − ∞ ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ LL ( 5-17) , 0 1 0dffτ τ − −∞ ∫ 证明 { } 0 0 1 dd p t ft f fτ τττ − − −∞ ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫∫ LL {} { } 1 0 0d t fut fτ τ − − ∫ LL { } 1 0 1 0d t ff s τ τ − − ∫ L 第二项 00 dd t st f etττ −− ∞ − ∫∫ 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 5 00 0 11 dd t st st ef fte ss ττ −− − ∞ ∞ ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ 1 Fs s 1 11 1 0 p f tf Fs ss − ⎧⎫ ∴ ⎨⎬ ⎩⎭ L 9 像微分( s 域微分) {} dd p,ptf t F s F s ss − nullL ( 5-18) 9 像积分 s 1 df tFzz t ∞ ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ ∫ L ( 5-19) 证明 ss0 dd d zt Fz z z e ft t ∞∞∞ − ∫∫∫ 0 dd zt s f tezt ∞∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫ 0 11 d st f tet ft tt ∞ − ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩⎭ ∫ L 其他性质 9 平移(延时) { } { } 0 00 st f ttutt e ft − −−LL ( 5-20) 图 5-4 9 像平移(调制) { } t fte Fs α α −L ( 5-21) 例 {} 1 ut s L {} 00 j-j 0 11 cos 22 tt ut t ut e e ωω ω ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩⎭ LL 22 00 0 11 1 2j j s ss sω ωω ⎡⎤ ⎢⎥ − ⎣⎦ ( 5-22) 9 相似(尺度变换) 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 6 {} 1 ,0 s fat F a aa ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ L ( 5-23) 9 初值定理 { } f tFsL , { } f t′L 存在,则 0 lim 0 lim ts f tf sFs →→∞ ( 5-24) 证明 { } 11 0 0d st sF s f f t f t e t ∞ − − ∫ L 1 0 lim 0 lim d 0 st ss sF s f f t e t ∞ − →∞ →∞ − ⎡⎤ ⎣⎦∫ 注 R ∞处的所有点 N⇔ jssσ ω→∞⇔ →∞ σ →∞ ω→∞ 0, st es − →→∞ 9 终值定理 { } { } ,f tFs pftLL存在, sF s 在除原点外的 r π (右半闭平面)解析,则 0 lim lim ts f tsFs →∞ → ( 5-25) 证明 1 0 0d st sF s f f t e t ∞ − ∫ 1 000 lim 0 lim d st ss sF s f f t e t ∞ − →→ ∫ 0 d 0d d f ft t t ∞ ∫ 00ffff ∞−∞ 注 1)应用 图 5-6 希望输出能够再现输入,即 lim 0 0 t yt vt e →∞ − ⇔∞⎡⎤ ⎣⎦ 00 1 lim lim 1 ss esEss Ws →→ ∞ 为稳态误差/系统误差。 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 7 2) 0, j , 0, 0ssσ ωσ ω→ →→(慢变信号) 3) 图 5-7 定理条件 sF s 在除原点外的 r π 解析。 0 22 0 cos s ut t s ω ω ⇔ ,不满足定理条件。 5.3 拉普拉斯逆变换( 信号与系统第二版(郑君里) 4.4) 极点、零点 {} Ns Fs ft Ds L 9 F s 的极点 ii pFp⇔∞;当 N 与 D互素时, i p 即 Ds的零点。 9 F s 的零点 0 ii zFz⇔;当 N 与 D互素时, i z 即 Ns的零点。 已知 F s ,求 f t {} j 1 j 1 d 2j st f tFs Fses σ σ π ∞ − −∞ ∫ nullnullL , 0 max Re i pσ σ (最右边极点) 图 5-8 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 8 { } j j 1 ddd 2j st st st CR CR f t Fse s Fse s Fse s σ σ π ∞ −∞ − ∫∫∫ { } j j 1 dd 2j st st CR Fses Fses σ σ π ∞ −∞ ∫∫ { } 1 d 2j st C Fse s π ∫null { } Res i st sp i Fse ut ∑ ( 5-26) 注 1) ,CR R ∞,左半平面; 2)充要条件 1 d0 2j st CR Fse s π ∫ ( 5-27) 3) Ns Fs Ds ,若 deg degND 时,单调渐进于 0 5) 若 Re 0 i p ,即极点在虚轴上 图 5-13 1 0 0 22 0 sin tu t s ω ω ω − ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ L 1 1 ut s − ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ L il p π − ∈ ,模态渐近于 0; 一阶 j i p ω∈ ,模态等幅; 二阶 j i p ω∈ , 0 sinttutω 模态线性增幅。 6) 若 Re 0 i p , ir p π − ∈ ,模态发散。 图 5-14 虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的。 Ys HsVs 零极分布与响应 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 13 图 5-15 9 { } { } Res Res ij st st zs H sp Vsp ij yt Yse Yse ∑∑ 极点极点 自由响应 强迫响应 9 零输入响应 ⇒自由响应,与 Hs极点有关,与 Hs零点无关; 9 瞬态响应 ⇔ Ys在 l π − 上极点贡献 ⇔渐近于 0, t →∞ 稳态响应 ⇔ Ys在 r π 上极点贡献 9 快变响应 ⇔远离虚轴极点贡献 慢变响应 ⇔虚轴附近极点贡献 5.5 线性定常系统频率响应( 信号与系统第二版(郑君里) 4.8) 正弦稳态响应、特征函数 图 5-16 { } { } 0 j Res Res i st st zs pHsp ii yt Yse Yse ω ∑ ∑ 极点 HsBIBO 稳定 0→ 0 j 0 j t s y tH e ω ω 稳态响应 0 0 j 0j0 j|j s HH He φ ω ω ωω 00 j 0 j t s yt H e ωφω ω ⎡⎤ ⎣⎦ 00 jj 0 j tt s y tTe H e ω ω ω ( 5-35) 注 1) 对矩阵 A, ,0 n ARξλξ ξ≠∈, λ为特征根, ξ 为特征向量, 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 14 对应上式有 0 j t e ω 为特征函数, 0 jH ω 为谱 ↔特征根。 2) 00 cosvt A tω θ 0000 jcos s yt H A tωωθφω ( 5-36) 00 sinvt A tω θ 0000 jsin s yt H A tω ωθφω ( 5-37) 频率响应 当 0 ω 跑遍 ,−∞∞时, jH ω 即系统的频率响应(谱) 。 9 j jjHHe φ ω ωω , 其中, jH ω 为系统的幅频特性(响应) ,幅度谱; φ ω 为系统的相 频特性(响应) ,相位谱。 9 系统 BIBO 稳定 d l ht t Hs π ∞ − −∞ ⇔⇔∈ ∫ 极点 ( 5-38) 此时, { } jHhtω F 9 1 Hs s ⇔ t dτ −∞ ∫ 图 5-17 ⇔ ht ut j 1 j| j s HH ω ω ω ,而 {} 1 j j Hhtωπδω ω F 两者不 等。 确定频率特性的几何方法 1 1 m j j n i i Ksz Ns Hs Ds sp − − ∏ ∏ 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 15 BIBO 稳定在 s平面, s沿轴从 jj jH ω−∞→∞⇒ 图 5-18 i j 11 j 11 j j j k mm jk jj nn ii ii KzKNe H pMe ψ θ ω ω ω ⎡ ⎤− ⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⎣ ⎦ ∏∏ ∏∏ 1 i 1 j 1j j 1 j m k k n i m k j n i i KNe He Me ψ φ ω θ ω ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ∑ ∑ ∏ ∏ 1 1 j m k j n i i KN H M ω ∏ ∏ i 11 mn k ki φ ωψθ − ∑ ∑ ( 5-39) 注与正实轴的夹角逆时针为正,顺时针为负。 例考虑如下的 Hs i j j j k k i Ne HK M e ψ θ ω -j jHHK∞ ∞ 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 16 -j 0 22 ππ φ ⎛⎞ ∞− −− ⎜⎟ ⎝⎠ j0 22 π π φ ∞− 5.6 BIBO 稳定性( 信号与系统第二版(郑君里) 4.11) 系统稳定性 零状态稳定性输入 ∼ 输出,外部稳定性, BIBO 稳定; 零输入稳定性内部稳定性,李亚谱诺夫稳定性。 BIBO 稳定性 定义零状态系统 T 是 BIBO 稳定的对任一有界输入,其输出均有界。 即对 L,vt ab ∞ ∀∈ ,恒有 TL,yt vt ab ∞ ∈ , 即 sup t vt vt ∞ ∀ ,则必为非 BIBO 稳定,微分算子。 2)稳定信号 1 L,ft ft⇔ ∈−∞∞ 3)临界稳定不是 BIBO 稳定的 定理 若 12 L,, L,ht vt∀ ∈ −∞ ∞ ∀ ∈ −∞ ∞ , 则 2 L,yt ht vt ∗ ∈ −∞ ∞ ( 5-42) 图 5-21 证明依定理条件,令 dht t N ∞ −∞ ∞ ∫ , 2 dvt t M ∞ −∞ ∞ ∫ , 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 18 dyt h vtτ ττ ∞ −∞ ≤− ∫ ∵ 11 22 dhhvtτ τττ ∞ −∞ − ∫ 2 ddhhvtτ ττττ ∞∞ −∞ −∞ ⎡⎤⎡ ⎤ ≤− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ ∫∫ ( Cauchy-Schwartz 不等式) 1 1 2 2 2 dNhvtτ ττ ∞ −∞ ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ 22 dddyt t N h vt tτ ττ ∞∞∞ −∞ −∞ −∞ ∴ ≤− ∫∫∫ 2 ddNvtthτ ττ ∞∞ −∞ −∞ ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ 2 dNM h N Mττ ∞ −∞ ∞ ∫ 5.7 全通系统 /最小相移系统( 信号与系统第二版(郑君里) 4.10) 全通系统 定义 Hs为全通系统(函数) ⇔ 1)系统 BIBO 稳定 2) jHKω ∞ ( 5-43) 注1) jHKω ∞⇔零点与极点(关于虚轴)镜像对称 极点 il p π − ∈ ,零点 ir z π − ∈ , * ii zp− 1 n i i i sz Hs K zp − − ∏ σ jω S平面 jω Pi Zi o 图 5-22 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 19 2)全通系统的 φ ω 是 ω的单调减函数 ω −∞ ω ∞ 零点 i z 3/2π → /2π 极点 i p /2π− → /2π φ ω 2π → 0 Hs 有个极点/零点 n 2 nπ → 0 最小相移系统 9 定义 Hs为最小相移系统(函数) ⇔ 1) Hs的任意极点 il p π − ∈ 2) Hs的任意极点 il z π ∈ 若任意极点 il z π − ∈ ,则为严格最小相移系统。 9 对幅度相同的系统,最小相移系统相移最小。 图 5-23 9 定理任意 BIBO 稳定的线性定常系统都可由一个全通系统与一个最 小相移系统级联构成。 定理设 BIBO 稳定 Hs有 m 个零点 1 ,, mr zzπ − ∈null , 1 m mi i Hs H s s z − ∏ * * 11 mm i mi ii i sz Hs sz sz − ∏∏ ( 5-44) 其中, * 1 m mi i Hs sz ∏ 为最小相移系统, * 1 m i i i sz sz − ∏ 为 BIBO 稳定 的全通系统。 9 定理在所有幅频特性相同的系统中 最小相移系统的群延迟 信号与系统 第五章拉普拉斯变换 20 d d p φ ω τ ω −null 最小。 图 5-24 群延迟反映邻域附近整体的延迟变化 d d p φ ω τ ω −null ( 5-45) 相位延迟 1 10 | t ωω φ ωω 1 0 1 | t ω ω φω ω ( 5-46) , 0 t 为 1 ω ω 处的相位延迟。 证明考虑 BIBO 稳定, j jjHHe φ ω ωω , j jj m mm HHe φ ω ωω 为最小相移系统 jj m HHω ω , 构造 j 0 j j j m m H He H φ ω φ ω ω ω ω −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 为全通的, dd 0 dd m φω φ ω ωω − dd m φ ωφω ω ω −− m φφ τ τ

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